TEMA 3 El modelo clásico de regresión lineal: inferencia y predicción

...

Gráficamente puede verse esto en la Figura 1.

[pic 9]

JB2 exp

RA

RC

1

22,1

Figura 1

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3.2. Intervalos de confianza.-

Intervalo de confianza para los coeficientes de regresión ( j )

Una vez obtenida, mediante MCO, la estimación del vector de parámetros del modelo

de regresión ˆ , y para valorar si ésta resulta ser una “aproximación” adecuada de los

parámetros poblacionales , podríamos en primera instancia atender a las propiedades que posee este estimador calculado por el citado método: es ELIO (esto es, resulta ser lineal, insesgado y de mínima varianza, como ya se ha estudiado).

Una forma adicional de valorar la precisión de la estimación consiste en establecer un intervalo de confianza: un intervalo de valores dentro del cual consideramos que se encuentran los parámetros poblacionales con un determinado nivel de confianza1.

ˆ

Recordemos que el vector de estimadores

es un vector aleatorio que sigue una

ˆ

2

X ' X

1

.

distribución normal multivariante. En particular:

Nk ; u

De este modo, la distribución de cada uno de los coeficientes de regresión estimados

ˆ

,

ˆ

ˆ

que conforma este vector ( j

j 1,2,..., k ) es: j N j ;Var( j ) .

ˆ

ˆ

Var( j ) es un elemento de la matriz de varianzas-covarianzas de ; en concreto, de su

diagonal principal:

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Var( 1 )

Cov( 1 , 2 )

Cov( 1

, 3 )

Cov( 1

, k

)

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

)

Var( 2 )

Cov( 2

, 3 )

Cov( 2

, k

ˆ

2

1

( X ' X )

Var Cov ( ) u

ˆ

Var( j )

ˆ

Var( k )

a11

a12

a13

a1k

a22

a23

a2k

2

.

u

a jj

akk

1

ˆ

es el

Podemos recordar brevemente el concepto de intervalo de confianza: supongamos que

estimador puntual

de

. Nuestro

objetivo será determinar

qué

valores

conforman

el

intervalo

ˆ

ˆ

,, de tal forma que la probabilidad de que contenga a sea 1(nivel de confianza).

Si nos fijamos, la estimación es el centro o pivote del intervalo y es un número positivo, es el radio de dicho intervalo, que sumado y restado al valor central configura finalmente la amplitud del intervalo. El valor de va a depender del nivel de confianza.

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ˆ

2

.a jj , siendo a jj

el elemento j

Así, podremos escribir que:j

N j ; u

correspondiente de la diagonal principal de la matriz (X ' X ) 1 .

Nuestro

...