Matrices y Determinantes Tema: Matrices APUNTES Y EJERCICIOS

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Propiedades del producto de matrices

- Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

- Elemento neutro: A · I = A. Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

- No es Conmutativa: A · B ≠ B ·A

- Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B+C) = A · B + A · C

Matriz Inversa: Sea A y B dos matrices cuadradas de forma que AB=BA=I; en estas condiciones, la matriz B se llama inversa de A y se escribe B=A-1.

Si multiplicamos por la izquierda o multiplicamos por la derecha una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad. A · A-1 = A-1 · A = I

Propiedades:

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Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

- Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria. . La ampliamos con la matriz identidad de orden 3. Entonces obtenemos, .[pic 44][pic 45]

- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

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Ejercicios

- Dadas las matrices: ; . Calcular: [pic 50][pic 51]

- A + B

- A − B

- A x B

- B x A

- At.

- Sean las matrices: ; ; . Calcular:[pic 52][pic 53][pic 54]

- (A + B)2

- (A − B)2

- B3

- A x Bt x C

- Sean las matrices: ; ; . Justificar si son posibles los siguientes productos:[pic 55][pic 56][pic 57]

- (At x B) x C

- (B x Ct) x At

- Demostrar que: A2 − A − 2I = 0, siendo: .[pic 58]

- Sea A la matriz . Hallar , para .[pic 59][pic 60][pic 61]

- Por qué matriz hay que multiplicar la matriz para que resulte la matriz .[pic 62][pic 63]

- Calcular la matriz inversa de: .[pic 64]

- Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: [pic 65]

- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

- Representar la información en dos matrices.

- Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

- Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

- Representar esta información en dos matrices.

- Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

- Siendo: . Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:[pic 66]

- XA=B+I

- AX+B=C

- XA+B=2C

- AX+BX=C

- XAB-XC=2C

- Siendo: . Calcular el valor de X en la ecuación: AX+2B=3C[pic 67]

- Calcular la matriz inversa usando el método de Gauss de las siguientes matrices:

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