Unidad 2 Matrices y Determinantes..

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Si por el contrario la matriz es antisimétrica, tenemos que por lo que , y si entonces por lo que Son ejemplos de matrices antisimétricas:[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

[pic 94]

Rango de una matriz.

Se llama rango de la matriz A, detonador r (A), al número máximo de filas o columnas linealmente independientes que hay en A. Consideremos la matriz Su rango se calcula tomando las dos filas [pic 95][pic 96]

Se plante la expresión. . Donde se obtiene: donde [pic 97][pic 98][pic 99]

Operaciones elementales en matrices

Para calcular el rango de una matriz de forma práctica necesitamos unas herramientas que se conocen con el nombre de operaciones elementales fila y columna, y que son totalmente análogas a las operaciones elementales que hemos estudiado al resolver sistemas de ecuaciones lineales. Dada la matriz (K), siendo en total tres operaciones: 1) Intercambiar dos filas de la matriz A. 2) Multiplicar una fila por una escalar α ∈ K no nulo. 3) Suma a una fila otra fila multiplicada por un escalar α ∈ K.[pic 100]

Para evitar errores se pueden producir al utilizar indistintamente operaciones elementales fila y columna.

Se intercambia la fila 2 por la fila 3 [pic 101][pic 102]

Si multiplicamos la primera fila de A por 2 escribimos. [pic 103][pic 104]

Se suma la primera fila de A la segunda multiplicada por 2. F1+2F2 . [pic 105][pic 106]

Podemos concatenar operaciones elementales filas de la siguiente manera.

[pic 107]

La notación tenemos para operaciones columna cambiando F por C. La utilidad de las operaciones elementales para calcular el rango de una matriz sea concreta. Las operaciones elementales conservan entonces el rango al transformar la matriz. Para calcular el rango de una matriz se basa en hacer operaciones elementales fila en una matriz. Se hace las operaciones elementales fila buscando una matriz triangular.

Ejemplo: La última matriz es triangular al ver que sus tres primeras son linealmente independientes al sistema[pic 108]

Teniendo como única solución por lo que su rango es tres.[pic 109][pic 110]

2.3 Clasificación de las matrices

Cuadrada.

Una matriz de n*m elementos. Si A es una matriz m por con la siguiente característica entonces se le llama matriz cuadrada. Toda matriz cuadrada la podemos descomponer en una suma de una matriz simétrica y una matriz anti simétrica. “Si la matriz son matrices del mismo orden, entonces las podemos sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, que el orden de los factores no altera el producto.[pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

“una matriz cuadrada de orden es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que la matriz no tiene inversa”.[pic 116][pic 117][pic 118]

Ejemplo: matriz cuadrada para [pic 119]

Triangulares

Es una particular de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Gracias a que los sistemas de ecuaciones lineales utilizados en matrices triangulares son fáciles de resolver, las matrices triangulares son las más utilizadas en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales con incógnitas, calcular inversas de la matrices y determinantes de las mismas. [pic 120]

El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Una matriz cuadrada de orden n se afirma que es triangular superior, si posee lo siguiente:

Una matriz de la forma Se dice que es una matriz triangular inferior. Se suele emplear las letras respectivamente, ya que es la inicial de upper triangular matrix y de lower triangular matrix, los nombres que reciben estas matrices en inglés. [pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125]

Ejemplos: [pic 126]

Una matriz triangular superior e inferior es una matriz diagonal. El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior). La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa. El determinante de una matriz triangula es el producto de los elementos de la diagonal. Una matriz triangula es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior). Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.

Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial o .[pic 127][pic 128]

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales, son aquellos arreglos matriciales en los cuales se deben de coincidir en el valor numérico con el mismo valor que se tiene al inicio de la matriz. Ejemplo: [pic 129]

Unitaria

Es aquella en la que los elementos de su diagonal principal son todos iguales a uno y todos los demás elementos son iguales a cero. Se le conoce como matriz identidad porque cualquier matriz y con fila y columnas permanece sin cambios cuando se multiplica por una matriz unitaria Ejemplo: [pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134]

Nula

En álgebra lineal, una matriz cero o también llamada matriz nula es un matriz con todos sus elementos iguales a cero. Ejemplos: [pic 135]

Una matriz nula de orden definida sobre un anillo asume la forma [pic 136][pic 137][pic 138]

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz ni potente y matriz singular.

Transpuesta

Sea A= ( una matriz de m renglones* columnas. La traspuesta de la