Matrices y Determinantes Tema: Matrices APUNTES Y EJERCICIOS
Enviado por karlo • 29 de Abril de 2018 • 1.499 Palabras (6 Páginas) • 524 Visitas
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Propiedades del producto de matrices
- Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
- Elemento neutro: A · I = A. Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
- No es Conmutativa: A · B ≠ B ·A
- Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B+C) = A · B + A · C
Matriz Inversa: Sea A y B dos matrices cuadradas de forma que AB=BA=I; en estas condiciones, la matriz B se llama inversa de A y se escribe B=A-1.
Si multiplicamos por la izquierda o multiplicamos por la derecha una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad. A · A-1 = A-1 · A = I
Propiedades:
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Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
- Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria. . La ampliamos con la matriz identidad de orden 3. Entonces obtenemos, .[pic 44][pic 45]
- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
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Ejercicios
- Dadas las matrices: ; . Calcular: [pic 50][pic 51]
- A + B
- A − B
- A x B
- B x A
- At.
- Sean las matrices: ; ; . Calcular:[pic 52][pic 53][pic 54]
- (A + B)2
- (A − B)2
- B3
- A x Bt x C
- Sean las matrices: ; ; . Justificar si son posibles los siguientes productos:[pic 55][pic 56][pic 57]
- (At x B) x C
- (B x Ct) x At
- Demostrar que: A2 − A − 2I = 0, siendo: .[pic 58]
- Sea A la matriz . Hallar , para .[pic 59][pic 60][pic 61]
- Por qué matriz hay que multiplicar la matriz para que resulte la matriz .[pic 62][pic 63]
- Calcular la matriz inversa de: .[pic 64]
- Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: [pic 65]
- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
- Representar la información en dos matrices.
- Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
- Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
- Representar esta información en dos matrices.
- Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.
- Siendo: . Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:[pic 66]
- XA=B+I
- AX+B=C
- XA+B=2C
- AX+BX=C
- XAB-XC=2C
- Siendo: . Calcular el valor de X en la ecuación: AX+2B=3C[pic 67]
- Calcular la matriz inversa usando el método de Gauss de las siguientes matrices:
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