CONTROL DIGITAL ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE

...

(n-1)T nT

t

Figura 1.3. a)Conjunto a modelar.

b)Señal continua f(t), y discreta f(nT).

c)Señal continua f(t) y reconstruida y(t).

La señal reconstruida y(t) puede ser expresada a partir de una sumatoria de escalones

desplazados en el tiempo

∞

y ( t ) =

∑ f (nT ) [ μ (t − nT ) − μ (t − ( n + 1 )T ) ] ,

(1-2)

n=−∞

donde:

 1 si t ≥ nT

μ ( t − nT ) = 

.

(1-3)

0 si t < nT

Luego, la transformada de Laplace de la señal reconstruida y(t), resulta:

Y ( s ) =

∑

∞

f (nT )

e − nTs − e − nTs −Ts

n=−∞

s

(1-4)

operando:

Y ( s) =   ∑ ∞

f ( nT ) e − nTs   1 

− e − Ts 

 .

n = −∞

  s 

(1-5)

El primer factor de la ecuación (1-5), a pesar de ser una expresión en el dominio frecuencial

complejo s, da idea de lo que sucede en el tiempo, ya que corresponde a una operación lineal

entre los valores de las distintas muestras de la señal f(nT) desplazados en el tiempo en t= nT.

Luego, si a los efectos de la modelización se asigna este factor a la transformación de Laplace

∗de la señal muestreada F (s), el segundo factor de la ecuación (1-5), corresponde a la transferen-

cia del reconstructor de señal que denominaremos Ho(s). Es decir:

con:

Y ( s ) = F * ( s ) ⋅ H o ( s )

(1-6)

3

∞

F * ( s ) =

∑ f ( nT ) e

−nTs

n=−∞

H ( s )o=

1 − e − Ts

s

.

(1-7)

(1-8)

Para completar el modelo, falta ahora, definir el bloque que relaciona la transformada

de Laplace F(s) de la señal continua con la trasformada F*(s) asignada a la señal muestreada

(figura 1.4).

f(t)

f *(t)

y(t)

?

Ho(s)

F(s)

F*(s)

Y(s)

Figura 1.4. Modelización del muestreador y reconstructor.

Teniendo en cuenta que la trasformada inversa es también una operación lineal, la anti

transformada de F*(s) resulta:

donde:

∞

f * (t ) =

∑ f (nT ) δ (t − nT )

n =−∞

f * ( t ) = f ( t ) ⋅ δ T (t ) ,

(1-9)

(1-10)

∞

δ T (t ) =

∑ δ (t − nT )

n=−∞

(1-11)

representa a un tren de impulsos (figura 1.5). Es decir, que la señal f*(t) puede considerarse co-

mo un tren de impulsos modulados por f(t).

δT(t)

...

T

2T

nT

Figura 1.5. Tren de impulsos δT(t).

4

...

t

De este modo, el conjunto muestreador y convertidor D/A modelado por medio de dos bloques

elementales. El primero (el muestreador), modula la señal a muestrear con un tren de impulsos.

El segundo, normalmente denominado reconstructor de señal de orden cero, entrega en su salida

un valor constante igual al peso del último impulso de entrada.

Según la modelización previa, la acción conjunta de los bloques A/D, controlador digi-

tal D y convertidor D/A debe interpretarse de la siguiente forma:

-

El modelo del convertidor A/D entrega en su salida un tren de impulsos, cada uno de ellos

pesado con el valor de la señal analógica en el instante t = nT correspondiente.

-

El controlador digital procesa, a través de un algoritmo recursivo, los pesos de los impulsos

de entrada y cada T segundos entrega en su salida un impulso ponderado con el resultado de

la