Distribución muestral de los estimadores de mínimos cuadrados

...

Tipo de hipótesis

Regla de decisión

[pic 69]

[pic 70]

Cola a la izquierda

Si entonces, se rechaza ; de lo contrario, se acepta [pic 71][pic 72][pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Cola a la derecha

Si entonces, se rechaza ; de lo contrario, se acepta [pic 76][pic 77][pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

Dos colas

Si o entonces, se rechaza ; de lo contrario, se acepta [pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]

Ahora suponga que las hipótesis que probaremos para la pendiente de regresión poblacional es la siguiente:[pic 85]

[pic 86]

La hipótesis nula dice en esencia que le modelo es . Es decir, la variación en resulta del azar o de las fluctuaciones aleatorias que son independientes de los valores de . Bajo las condiciones de esta hipótesis nula se puede mostrar que y son valores de la chi-cuadrada independientes, con 1 y grados de libertad, respectivamente. Entonces debido a un teorema de la teoría de la probabilidad, se sigue que también es un valor de una variable aleatoria chi-cuadrada, con grados de libertad. Para probar la hipótesis calculamos:[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

[pic 96]

Y rechazamos al nivel de significancia cuando En la tabla 5 resumimos esta regla de decisión:[pic 97][pic 98][pic 99]

Tabla 5: Reglas de decisión para probar (usando la prueba )[pic 100][pic 101]

Tipo de hipótesis

Regla de decisión

[pic 102]

[pic 103]

Dos colas

Si entonces, se rechaza ; de lo contrario, se acepta [pic 104][pic 105][pic 106]

Los cálculos para llevar a cabo este contraste, por lo general, se resumen por medio de la tabla de ANOVA, como se muestra en la tabla 6. Recuerde que en ella se acostumbra a hacer referencia a las diversas sumas de cuadrados divididas entre sus respectivos grados de libertad como los cuadrados medios.

Tabla 6 Análisis de varianza para probar [pic 107]

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

Regresión

SSR

1

SSR

[pic 108]

Error

SSE

[pic 109]

[pic 110]

Total

SST

[pic 111]

Bajo ciertas condiciones, la hipótesis que debe probarse para la pendiente de la regresión poblacional son las siguientes:[pic 112]

[pic 113]

Donde es cualquier número real, el estadístico de prueba tiene la forma , la distribución a considerar es la de Student con grados de libertad (compárese con el teorema 2) y la región crítica dependerá de cada uno de estos tres casos, como se ilustra en la tabla 8:[pic 114][pic 115][pic 116][pic 117]

Tabla 8 Reglas de decisión para contrastes sobre el intersecto de la regresión poblacional (usando la distribución con grados de libertad)[pic 118][pic 119]

Tipo de hipótesis

Regla de decisión

[pic 120]

[pic 121]

Cola a la izquierda

Si entonces, se rechaza ; de lo contrario, se acepta [pic 122][pic 123][pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

Cola a la derecha