ECUACION FUNDAMENTAL. FUNCIONES HIPERBÓLICAS

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COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -oo, -1) ( 1, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

Observaciones:

* y = arg sinh x se hace +[pic 20] (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo, y se hace -[pic 21], asimismo lentamente, en el infinito negativo.

* y = arg cosh x sólo esta definido para valores mayores o iguales a 1, se hace +[pic 22] (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo.

* y = arg tanh x sólo esta definido para valores de x comprendidos entre -1 y +1, se hace +[pic 23] (creciendo rapidisimamente) en x=+1, y se hace -[pic 24], asimismo rapidisimamente, en x=-1.

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones trigonométricas. Por ejemplo.

Cosh² x - senh²x =

Esta y otras identidades, son las que a continuación se presenta, dejando al lector la verificación de las mismas.

- cosh²x - senh²x = 1

- sech²x + tgh²x = 1

- cotgh²x - cosch²x = 1

- senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y

- cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y

- tgh (x ± y) =

- senh (2x) = 2 senh x cosh x

- cosh (2x) = cosh²h + senh²x

- senh a + senh b = 2 senh

- cosh a + cosh b = 2 cosh

- 2senh² = cosh x - 1

- 2cosh² = cosh x + 1

- (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre)

La fórmula de De Moivre

se denomina de esta forma debido al matemático francés Abraham de Moivre, quien afirma que para cualquier número real, para cualquier número complejo y también para cualquier entero n, se verifica lo siguiente:

La expresión “cos x + i sen x” a veces es abreviada como cis x.

Esta fórmula es de suma importancia ya que conecta a los números complejos con la trigonometría. Al expandir la parte izquierda de la igualdad y si comparamos la parte real con la imaginaria, es posible que se procedan expresiones de gran utilidad para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Esta fórmula puede también ser utilizada para hallar expresiones claras y explicitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

[pic 25]

Abraham De Moivre fue gran amigo de Isaac Newton; en 1698 Newton escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Hoy se suele demostrar la fórmula de De Moivre con el uso de la fórmula de Euler, esta última formula se denomina así por el matemático y físico ruso Leonard Euler; sin embargo, cronológicamente no fue de esta forma.

Euler conocía muy bien lo siguiente:

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De Moivre la escribió antes de final del XVII. De dicha fórmula fue donde Euler logró obtener una fórmula para el coseno:

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y otra para el seno

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A continuación tomó θ como infinitesimal y n como infinitamente grande. Concluyó en que las relaciones entre θ y n son tales que su producto es finito, θn→ν, y agregando lo siguiente:

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Podemos concluir en que La fórmula de Moivre permite obtener de forma simple, fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólciicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial ex.

Así por ejemplo

Las derivadas de las funciones hiperbólicas lo resumimos en la siguiente proposición, dejando al lector la verificación correspondiente.

Proposición 1.- Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:

- Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh x

- Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh x

- Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sech²x

- Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - cosch²x

- Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh x

- Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - cosch x cotgh x

En virtud de esta proposición y de la regla de la cadena, si u = u(x) es función diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 1.- Si u = u(x) es diferenciable, entonces:

- Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)

- Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)

- Dx (tgh u) = sech² u. Dx(u)

- Dx (cotgh u) = - cosch² u. Dx(u)

- Dx (sech u) = sech u. Tgh u. Dx(u)

- Dx (cosch u) = - cosch u. cotgh u. Dx(u)

INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

[pic 30]

[pic 31]

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SERIES DE TAYLOR

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EJERCICIOS.

Derivadas: