Ecuaciones lineales.

...

[pic 10]

Escribimos la matriz aumentada del sistema:

[pic 11]

Observamos que el primer elemento está bien colocado y por lo tanto no hay necesidad de intercambiar reglones. Por lo tanto hacemos ceros debajo [pic 12]; para ello, multiplicamos el reglón 1 por 0.4 y se lo sumamos al renglón 2, y también multiplicamos el mismo renglón 1 por –0.5 y se lo sumamos al renglón 3. Esto nos da la siguiente matriz:

[pic 13]

Para elegir el segundo elemento, debemos escoger el elemento mayor (con valor absoluto) entre [pic 14] y [pic 15], el cual obviamente es éste último. Por lo tanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:

[pic 16]

Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote; para ello, multiplicamos el renglón 2 por 0.5 y lo sumamos al renglón 1, y también multiplicamos el mismo reglón 2 por [pic 17] y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:

[pic 18]

Nuestro tercer elemento es[pic 19]. Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el reglón 3 por [pic 20] y lo sumamos al reglón 2, y también multiplicamos el mismo reglón 3 por [pic 21] y lo sumamos al reglón 1. Esto nos da:

[pic 22]

Finalmente, hacemos los unos en la diagonal, multiplicando el renglón 2 por [pic 23] y el reglón 3 por . Esto nos da la matriz final:[pic 24]

[pic 25]

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

[pic 26]

3.3 MATRIZ INVERSA

Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:

[pic 27]

En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad [pic 28]:

[pic 29]

El primer elemento [pic 30] está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el reglón 1 por [pic 31] y lo sumamos al reglón 2. Esto nos da:

[pic 32]

Nuestro segundo elemento pivote es [pic 33]. Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el renglón 2 por [pic 34] y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:

[pic 35]

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por [pic 36] y el renglón 2 por[pic 37]. Esto nos da la matriz final:

[pic 38]

Por lo tanto, concluimos que la matriz inversa de A es:

[pic 39]

3.4 METODO DE CRAMER

[pic 40]

[pic 41][pic 42] Al ser A cuadrada y [pic 43] podemos garantizar que el sistema es de Cramer y por tanto compatible determinado.

La solución será:

[pic 44][pic 45]

[pic 46] Por tanto, la solución será: [pic 47]

4.- ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO SOLUCIÓN

De acuerdo a David C. Lay (2007), en el caso cuando vemos que en nuestro sistema de ecuaciones aparece una constante adicional, aplicaremos el método de gauss e investigaremos según los valores de parámetros que obtengamos por ejemplo

x + y + z = m + 1

mx + y + (m − 1)z = m

x + 7y + z = 1

Aplicando Gauss a la matriz ampliada:

[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

1 1 1 m+ 1 1 1 1 m + 1

m 1 m- 1 m F2−mF1 0 1 − m −1 −m2 F3 - F1[pic 54][pic 55]

1 m 1 1 1 m 1 1

1 1 1 m+1 1 1 1 m+1[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

0 1-m -1 −m2 F3+F2 0 1-m -1 −m2[pic 62]

0 m-1 0 -m 0 0 -1 -m (1+m)

Llegado a este punto debemos fijarnos en dos aspectos:

a) El desarrollo anterior solo es posible si m = 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado. [pic 63]

b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas.

Analicemos en casos por separados:

Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:

1 1 1 1 [pic 64][pic 65][pic 66]

0 1 -1 0

0 0 -1 0

En este caso podemos ver que el sistema Z=0, Y=0 y X=1 por lo que podemos decir que tiene solución

Procedemos con el otro caso:

Si m = 1, al aplicar Gauss, queda:

[pic 67][pic 68][pic 69]

1 1 1 1

0 1 -1 1

0 0 -1 -2

Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene solución

Conclusión

si m=1 no hay solución en este sistema

si m=1 si hay solución es este sistema[pic 70]

Observación.- Hay que señalar que no necesariamente no hay solución cuando hay dos valores para una variable si no también puede haber casos en los que salga que 0Z = un valor lo cual sería algo improbable por ende no