Ejemplo de la Aplicacion de la derivada

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Se presentan asi 2 enunciados mejor conocidos como la primera y segunda regla de L´Hopital:

- Primera Regla:

Se comienza trabajando con la indeterminación del tipo [0/0].antes de trabajar con la primera regla de L´Hospital debemos tener en cuenta los intervalos.

En matemáticas, un intervalo es un conjunto de números reales con la propiedad que cualquier número que se encuentra entre dos números en el juego también se incluye en el conjunto. Cuando hablamos de ellos los suponemos no vacio y no reducido a un punto.

Teorema I:

Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones del teorema del valor medio de Cauchy, en cierto intervalo [a,b] y tales que f (a) = g (a) = 0.

Entonces, si limx→a f ´(x) g ´ (x) existe , también existirá

Lim x→a f (x) g (x) y además lim x→a f (x) g (x) =

limx→a f ´ (x) g ´(x) También, si limx→a f 0 (x) g 0 (x) = ∞ entonces limx→a f (x) g (x) = ∞

Nota: Si f 0 (a) = 0 y g 0 (a) = 0 y las derivadas f 0 (x) y g 0 (x) satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones f y g , según la hipótesis de el teorema de la Regla de L’Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L’Hôpital,hasta obtener la forma

Teorema II:

Sean f y g funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo [h,+∞ ], donde h es una constante positiva. Sea g ´ (x) 6= 0 para x ∈ [h,+∞ ]. Si limx→+∞ f (x) = 0, y limx→+∞ g (x) = 0 y si limx→+∞ f ´(x) g ´(x) = L entonces limx→+∞ f (x) g (x) = L Además, si limx→+∞ f ´(x) g ´(x) = +∞ entonces limx→+∞ f (x) g (x) = +∞ El teorema II permite aplicar la regla de L’Hôpital a límites que se presenten en la forma 0

0

Cuando la variable independiente tiende hacia +∞. También puede aplicarse cuando x → −∞ y se tiene que f (x) → 0, y g (x) → 0.

El teorema II nos permite aplicar la regla de L’Hôpital a límites en que se presenta la forma 0 0 , cuando la variable independiente tiende hacia +∞. También puede aplicarse cuando x → −∞ y se tiene que f (x) → 0, y g (x) → 0.

- Segunda Regla:

Esta segunda versión se aplica a indeterminaciones del tipo [∞/∞]:

Teorema I:

Sean f y g funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo abierto I, excepto cuando x = a, (a ∈ I). Si para x 6= a se tiene que:

1.- g 0 (x) 6= 0

2.- limx→a f (x) = ∞

3.- limx→a g (x) = ∞

4.- existe el lim x→a f ´(x) g ´ (x) = k

Entonces también existe limx→a f (x) g (x) y además lim x→a f (x) g (x) = limx→a f ´(x) g´ (x) = k.

Teorema II:

Sean f y g funciones derivables para toda x > h, donde h es una constante positiva. Además, para x > h se cumple que g´ (x) 6= 0 sí:

1.-limx→+∞ f (x) = +∞ (o limx→+∞ f (x) = −∞)

2.- limx→+∞ g (x) = +∞ (o limx→+∞ g (x) = −∞)

3.-limx→+∞ f ´(x) g ´(x) = L

Entonces el limx→+∞ f (x) g (x) también existe y limx→+∞ f (x) g (x) = limx→+∞ f ´(x) g ´ (x) = L

El teorema II también es válido cuando se sustituye x → +∞ por x → −∞ Además, si limx→+∞ f ´(x) g´ (x) = ∞ entonces limx→+∞ f (x) g (x) = ∞

- Aplicación de la Regla de L’Hôpital a otras formas indeterminadas:

También se aplica en los casos que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:+∞ , −∞,+∞−∞

+∞ −∞ −∞ +∞

Teorema I:

Sean f y g funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo abierto I, excepto cuando x = a, (a ∈ I). Si para x 6= a se tiene que:

1.-g 0 (x) 6= 0

2.- limx→a f (x) = ∞

3.- limx→a g (x) = ∞

4.-iv. Existe el lim x→a f ´ (x) g´ (x) = k

Entonces también existe limx→a f (x) g (x) y además lim x→a f (x) g (x) = limx→a f ´(x) g´ (x) = k.

Teorema II:

Sean f y g funciones derivables para toda x > h, donde h es una constante positiva. Además, para x > h se cumple que g´ (x) 6= 0 sí: 1.- lim x→+∞ f (x) = +∞ (o l´ımx→+∞ f (x) = −∞)

2.- lim x→+∞ g (x) = +∞ (o l´ımx→+∞ g (x) = −∞)

3.- lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) = L

Entonces el l´ımx→+∞ f (x) g (x) también existe y lim x→+∞ f (x) g (x) = lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) = L El teorema II también es válido cuando se sustituye x → +∞ por x → −∞ Además, si lim x→+∞ f´ (x) g´ (x) = ∞ entonces lim x→+∞ f (x) g (x) = ∞.

- Límites que presentan la forma “0 ·∞”:

Si = l´ımx→a f (x) = 0 y l´ımx→a g (x) = ∞

Entonces el = lim x→a [f (x) g (x)] puede designarse por la forma 0 ·∞ que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L’Hôpital

. Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebráicas de manera que se obtengan las formas " 0 “o “ ∞”

0 ∞

1. lìm x→a [f (x) g (x)] = f (x) 1 g (x) y se tiene “∞”

∞ Cuando x → a

2. lim x→a [f (x) g (x)] = f (x) 1 g (x) y se tiene “0”

0