FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES Y ACUMULADAS

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FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES CONJUNTAS

ESTUDIO PARA DOS VARIABLE – TIPO DISCRETO

1.- FORMULAS PARA PROBABILIDADES CONJUNTA CASO DISCRETO

NOMENCLATURA P (X = Xi; Y = Yi) = P (X = Xi ∩ Y = Yi)

2.- DETERMINAR LAS PROBABILIDADES MARGINALES X, Y

NOMENCLATURA P(X=Xi) y P(Y=Yi)

3.- SON LAS VARIABLES X, Y INDEPENDIENTES

SON INDEPENDIENTE SI SE CUMPLE LO SIGUIENTE: Si la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales, para todas las combinaciones, SI FALLA UNA SON NO INDEPENDIENTE.

P (X = Xi; Y = Yi) = P (X = Xi) * P (Y = Yi)

4.- E (X) = ∑Xi * P (Xi)

5.- E (X2) = ∑Xi2 * P (Xi)

6.- V (X) = E (X2) - [E (X)]2

7.-E (Y) = ∑Yi * P (Yi)

8.- E (Y2) = ∑Yi2 * P (Yi)

9.- V (Y) = E (Y2) - [E (Y)]2

10.- E (XY) = ∑ Xi*Yi *P (X =Xi; Y = Yi) si las variables X, Y SON NO INDEPENDIENTES.

11.- E (XY) = E (X) * E (Y) si las variables X, Y SON INDEPENDNTEIES.

12.- V (aX ± bY) = V (aX) + V (±bY) = a2V(X) + (±b)2 V (Y) = a2V(X) + b2 V (Y)

SI LAS VARIABLES X, Y SON INDEPENDIENTES

13.- V (aX ± bY) = a2V(X) + b2 V (Y) ± 2ab COV (X, Y)

SI LAS VARIABLES X, Y SON NO INDEPENDIENTES

14.- COV (X, Y) = E (XY) – E (X) * E (Y)

NOTA

SI LAS VARIABLES X, Y SON INDEPENDIENTES LA COV (X, Y) = 0

15.-COEFICIENTE DE CORRELACION [-1, 1] , rxy = COV (X, Y) [pic 4][pic 5]

EJERCICIO

Sean (X, Y) dos variables aleatorias discretas en donde los posibles valores que estas pueden tomar son (- 1; 0; 1). En la siguiente tabla se dan las probabilidades conjuntas para todos los posibles valores de (X, Y).

X

-1

0

1

Y

-1

1/16

3/16

1/16

0

3/16

0

3/16

1

1/16

3/16

1/16

Los valores que toman las variables x, y pueden ser iguales como pueden ser diferentes, es decir una variable puede ter 3 valores y la otra puede tener 5 valores.

1.- PROBABILIDADES CONJUNTA

P (X = Xi; Y = Yi) = P (X = Xi ∩ Y = Yi)

P (X = 1; Y =0) = 3/16 ; P (X = 1; Y =-1) = 1/16

2.- DETERMINAR LAS PROBABILIDADES MARGINALES X, Y

X

P(Y = Yi)

-1

0

1

Y

-1

1/16

3/16

1/16

P(Y = -1) = 5/16

0

3/16

0

3/16

P(Y = 0) = 6/16

1

1/16

3/16

1/16

P(Y = 1) = 5/16

P(X=Xi)

P(X=-1) = 5/16

P(X=0) = 6/16

P(X=1) = 5/16

1

3.-VERIFICAR SI LAS VARIABLES X, Y SON INDEPENDIENTE

Son independiente si se cumple lo siguiente: si la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales, para todas las combinaciones, si falla una son no independiente.

P (X = Xi; Y = Yi) = P (X = Xi) * P (Y = Yi)

El ejercicio tiene 6 combinaciones o 6 probabilidades conjuntas, si se cumple para las 6 combinaciones entonces las variables son independientes, si falla una combinación son no independientes.

Primera combinación

1/16 = 5/16*5/16 1/16 = 25/256 1/16 25/256[pic 6]

la primera combinación falla Por lo tanto las variables X,Y SON NO INDEPENDIENTES.

4.- E ( X) = ∑ Xi * P X = X i) = -1 * ( 5/16 ) + 0 * ( 6/16 ) + 1 *( 5/16 ) = 0

5.- E ( Y ) = ∑ Yi * P ( Y = Y i ) = -1 * ( 5/16 ) + 0 * ( 6/16 ) + 1 *( 5/16 ) = 0

6.- E ( X 2 ) = ∑Xi 2 * P ( X = Xi ) = (-1)2 * ( 5/16) + ( 0 ) 2 * ( 6/16 ) + (1)2 * ( 5/16)= 10/16

7.- E ( Y 2 ) = ∑Yi 2 * P ( Y = Yi ) = (-1)2 * ( 5/16) + ( 0 ) 2 * ( 6/16 ) + (1)2 * ( 5/16)= 10/16

8.- Var ( X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X ) ] 2 = 10/16 –( 0 )2= 10/16

9.- Var ( Y ) = E ( Y 2 ) - [ E ( Y ) ] 2 = 10/16 ( 0 ) 2 = 10/16