Guia de Algebra Lineal

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El producto de un escalar k por una matriz , es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por k, es decir:[pic 52]

[pic 53]

NOTA:

Observe que k es un escalar que proviene de un cuerpo arbitrario K.

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Definición (Ley interna producto en el conjunto de matrices):

Sean y dos matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, definimos el producto de A y B, denotado por AB, como una matriz de orden definida por[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

[pic 58]

NOTA:

- La definición anterior establece que la entrada de la matriz producto se obtiene al calcular el producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B.[pic 59]

- Cabe destacar que el producto de matrices es no conmutativo, de hecho, puede ocurrir que AB esté definido y BA no lo esté.

Teorema (Propiedades de las matrices):

A partir de las leyes definidas antes para las matrices se puede probar que estas satisfacen las siguientes proposiciones:

-Para la suma:

i) [pic 60]

ii) [pic 61]

iii) [pic 62]

iv) [pic 63]

-Para el producto por un escalar:

i) [pic 64]

ii) [pic 65]

-Para el producto de dos matrices:

i) [pic 66]

ii) También: [pic 67]

-Axiomas distributivos:

i) [pic 68]

ii) [pic 69]

iii) [pic 70]

iv) [pic 71]

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NOTA:

Observe que entre las propiedades no se incluye la conmutatividad del producto de matrices, pues en general las matrices no son conmutativas.

Definición (Matriz escalonada reducida por filas):

Sea , una matriz de orden , decimos que A está en forma escalonada reducida por filas o renglones si se cumple que:[pic 72][pic 73]

- La entrada principal de cada fila no nula es igual a 1 (pivote).

- Las filas nulas están por debajo de las filas no nulas.

- Si la fila i y la fila i+1 son filas consecutivas no nulas entonces el pivote de la fila i+1 debe estar a la derecha del pivote de la fila i.

- Si una columna contiene el pivote de alguna fila entonces el resto de las entradas de dicha columna son nulas.

NOTA:

Si en la condición iv) se cumple que solo los términos por debajo del pivote son cero diremos que A está escalonada por filas, mas no reducida por filas.

Definición (Rango de una matriz):

Definimos el rango de una matriz A, como el número de pivotes de la matriz escalonada por filas o escalonada reducida por filas de A y lo denotaremos por También se define como el numero de filas no nulas de la matriz escalonada.[pic 74]

Definición (Operaciones Elementales por Filas):

Las operaciones elementales se utilizan principalmente para obtener la F.E.R.F. de una matriz A, y son las siguientes:

i) Intercambiar dos filas [pic 75]

ii) La fila i-ésima la podemos cambiar por un múltiplo constante de si misma

[pic 76]

iii) La fila i-ésima la podemos cambiar por la fila i-ésima sumada o restada con un múltiplo constante de otra fila

[pic 77]

Definición (Matrices equivalentes):

Sean , diremos que A es equivalente por renglones a B, si B se puede obtener al aplicarle una serie finita de operaciones elementales por filas a [pic 78][pic 79]

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Definición (Inversa de una matriz):

Sea , una matriz cuadrada de orden n, decimos que A es invertible, inversible o no singular si se cumplen las siguientes condiciones:[pic 80]

- Existe otra matriz [pic 81]

- Dicho producto da como resultado la matriz identidad; AB = I.

En ese caso diremos que B es la inversa de A, denotada por [pic 82]

Teorema:

Si es invertible entonces su inversa es única.[pic 83]

Definición (Matriz Ortogonal):

Una matriz no singular A es ortogonal si

[pic 84]

Teorema (Método de Gauss-Jordan para determinar la inversa de una matriz):

Una matriz es invertible si es equivalente por fila a la matriz identidad, en ese caso procedemos:[pic 85]

- Formando la siguiente matriz ampliada: [pic 86]

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