LA GRAN APLICACION DE DERIVADAS

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La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).

Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).

Ahora bien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.

Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.

Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).

Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Ө con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangentes es igual a tan Ө.

Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tan Ө (x – x1).

El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:

1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.

En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.

2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.

La ecuación se convierte entonces en x = x1.

Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.

Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.

Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.

Además, el producto de sus pendientes es −1.

Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.

Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 + [pic 4] ) x y la recta y = (1 - [pic 5] ) x

Encuentre la pendiente de y = (1 + [pic 6] )x, obtenemos

dy/dx = d((1 + [pic 7] )x) / dx

= 1 + [pic 8]

Del mismo modo, para la recta y = (1 - [pic 9])x, la pendiente resulta ser 1 - [pic 10]

Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos

m1.m2 = (1 + [pic 11] ). (1 - [pic 12] )

m1.m2 = - 1

Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.

[pic 13]

5.2.- TEOREMA DE ROLLE TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

El teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

[pic 14]

Considere una función valorada real que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) tal que el valor de la función es igual en los extremos finales.

Dado que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), por tanto, puede tener tangentes en varios puntos de la gráfica de la función.

Sin embargo, habrá al menos un punto en la gráfica donde la tangente será paralela al eje X y por tanto su pendiente será 0.

Esta es la afirmación del Teorema de Rolle.

[pic 15]

El Teorema de Rolle afirma que si f es una función valorada real la cual es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferencial en el intervalo abierto (a, b) tal que f (a) = f (b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) donde la pendiente de la tangente trazada en ese punto es 0.

El Teorema de Rolle se limita a la condición de que el valor de la función en los puntos extremos del intervalo deben ser iguales.

Por ejemplo: el Teorema de Rolle no es válido para la función g(x) = | x |, donde x Є [−1, 1], porque en x = 0, g(x) no puede ser diferenciada lo cual desafía una de las condiciones necesarias para su existencia.

[pic 16]

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

Otro importante teorema en el contexto de las matemáticas es el teorema del valor medio.

El Teorema de Rolle se considera un caso especial del teorema del valor medio.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente de la tangente en ese punto es igual a[pic 17]

De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es [pic 18] y f'(c) es la pendiente de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x).

Entonces el teorema de valor medio dice que si la curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a

En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que [pic 19] = f'(c).

[pic 20]

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