LAS INTEGRALES: CÓMO DISTINGUIR SI SON O NO INMEDIATAS Y, EN SU CASO, ELEGIR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN ADECUADO

...

[x=1] 3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)

3(1)+5 = A (1 – 1)² + B (1 + 1) + C (1 + 1)(1 – 1)

8=2B

[B=4]

[x=-1] 3(-1)+5 = A (-1 – 1)² + B (-1 + 1) + C (-1 + 1)(-1 – 1)

2= 4A

[A= 1/2]

[x=0] 3(0)+5 = A (0 – 1)² + B (0 + 1) + C (0 + 1)(0 – 1)

5= A + B – C

5= ½ + 4 –C

[C= -1/2]

5º-> Sustituir y resolver

∫3x+5/x³-x²-x+1 dx =

1/2∫1/(x-1) dx + 4∫1/(x-1)²dx – 1/2 ∫1/x-1 dx =

1/2 L⏐x+1⏐- 4/x+1 – 1/2 L⏐x-1⏐

Veamos otro ejemplo en el que es necesario realizar la división de polinomios antes de aplicar el método de integración

- ∫3x³+ x²– 10x + 1/ x²- x - 2 dx = 1/2∫2·(3x +4)dx +∫9/ x²- x - 2 dx =

1/2 (3x²+4x) + ∫9/ x²- x - 2 dx = 1/2 (3x²+4x) + ∫9/(x+1) (x-2) dx = 1/2 (3x²+4x) + ∫-3/(x+1) dx + ∫3/ (x-2) dx = [pic 5][pic 6]

= 1/2 (3x² + 4x) – 3L|x+1| + 3 L |x-2|

INTEGRACIÓN POR PARTES:

Las integrales que se resuelven aplicando este método son aquellas en cuyo integrando aparecen:

- Funciones logarítmicas, siempre que no contenga su derivada.

- Arcoseno y arcotangente.

- Producto de funciones que no sean la derivada de una función compuesta.

Para aplicar este método a una parte del integrando se le llama u (logaritmo, arcoseno,arcotangente..) y al resto dv. A continuación se aplica la siguiente fórmula: ∫u dv = u·v - ∫ v du . La integral resultante nunca puede ser más complicada que la de partida.

- ∫x²· e2x dx = x²· e²/2 - ∫e2x/2 · 2x dx

u = x² du = 2x dx

dv = e2xdx v = e²/2

Siempre que en el integrando aparezca una potencia de x, sele llamará u, a no ser que nos encontremos con un logaritmo, arcoseno o arcotangente.

- ∫e2x/2 · 2x dx = ∫e2x x dx = x· e2x/2 -∫ e2x/2 dx =

x· e2x/2 - 1/4∫2 e2x dx = x· e2x/2 - 1/4 e2x

u = x du = dx

dv = e2x dx v = e2x/2

- ∫Lx dx = Lx · x - ∫x · 1/x dx = x Lx - x

u = Lx du = 1/x dx

dv = dx v = x

- ∫ex · cosx dx = ex · senx - ∫senx · ex dx

En este caso se puede llamar x indistintamente a cualquiera de las dos funciones.

u = ex du = ex dx

dv = cosx dx v = senx

∫senx · ex dx = - ex · cosx + ∫cosx · ex dx =

u = ex du = ex dx

dv = senx dx v = - cosx

∫ex · cosx dx = ex · senx + ex · cosx - ∫cosx · ex dx

2 ∫ex · cosx dx = ex · senx + ex · cosx

∫e · cosx dx = 1/2 ex (senx + cosx)

CAMBIO DE VARIABLE:

Este método es el más complicado de identificar. La condición indispensable que debe cumplirse es en el integrando debe estar la derivada de la función a la que llamaremos t.

Se resulten por este método las integrales de radicando irracional que no sean inmediatas

- ∫ex/ e2x +3ex+2 dx= ∫1/ t²+3t+2 dt =

1/3∫1/(t+1)dt - 1/3∫1/(t+2)dt =

t = ex

dt = ex dt

= 1/3 ∫1/(t-1) dt – 1/3∫1/(t-2) dt = 1/3 L|t-1| - 1/3 L |t+2| =

= 1/3 L|ex -1| - 1/3 L|ex +2|

- ∫x [pic 7] dx t2 = x-1

2t dt = dx

INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Para la resolución de este tipo de integrales es importante conocer las relaciones trigonométricas más usuales (pag. 372).

Veamos algunos ejemplos

- ∫tg3x dx = ∫tg2x tgx dx = ∫(sec2x -1)tgx dx = … = tg2x/2 + L|cosx|

- ∫tgx /cosx-1 dx = ∫senx/cosx (cosx-1) dx = - ∫1 /t(t-1) dt = ... =

t = cosx

dt = - senx dx

= - L |t-1| +