LAS PARADOJAS DE ZENÓN.

...

¿Cuál es su suma?

¡Evidentemente toda la hoja; es decir 1!

1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1

Ambos casos son ejemplos concretos de laSuma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | [pic 5]

Dada una progresión geométrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn

La suma de los (n + 1) primeros términos: S = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn

Se expresa mediante la fórmula:[pic 6]

Cuando | r | rn+ 1 resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 .

lim rn+ 1=0 cuando n à 4

En consecuencia, se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión:

S 4 = lim S = a / (1 – r) cuando n à 4

Ejemplos.-

En la paradoja de Zenón: a = 100 , r = 1/10

Aquiles alcanza a la tortuga después de recorrer: S 4 = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m

Al partir la hoja de papel: a = ½ , r = ½

Todos los trozos suman: S 4 = ½ / (1 – ½ ) = 1

LA DICOTOMÍA

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol. Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

[pic 7][pic 8]

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma = [pic 9]

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:[pic 12][pic 10][pic 11]

Suma =

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

LA PARADOJA DE LA FLECHA

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible. Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.

Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

En cada instante, la flecha en vuelo, ocupa un espacio exactamente igual a su longitud, luego está en reposo.

Esta paradoja presenta la dificultad de calcular la velocidad instantánea cuando el espacio y el tiempo son cero ( v = s/t. cuando s = 0 y t = 0, v = 0/0).

En el mundo real, las flechas se mueven sin problemas.

PARADOJAS DE LA PLURALIDAD

En contraste con las paradojas del movimiento, en la divulgación de las paradojas de la pluralidad no se ha logrado imponer una denominación única y en general