RENTAS O ANUALIDADES ORDINARIAS

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Las Rentas Ciertas, no Diferidas, a Plazo y Vencidas se llaman ORDINARIAS y son las que constituyen nuestro objetivo de estudio. Las Rentas Ordinarias están representadas en el primer eje de tiempo del esquema recién presentado.

2. Monto o valor futuro de una renta ordinaria.

El monto o valor futuro lo ilustraremos con un sencillo ejercicio.

Ejercicio 1:

Se depositan $ 1 .000 al final de cada mes a una tasa de interés del 2% mensual. ¿Qué cantidad se tendrá acumulada a los 4 meses?.

1.000 1.000 1.000 1.000[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

[pic 110]

0 1 2 3 4 períodos de interés

M

El monto o valor futuro de la renta es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo de la renta.

El primer pago gana intereses por 3 meses y el monto compuesto de éste, aplicando fórmula base del interés compuesto, es:

M1 =1.000(1+0,02)3

El segundo pago gana intereses por 2 meses y su monto compuesto es:

M2= 1.000 (1+0,02)2

Continuando el razonamiento, los montos del tercer y cuarto pago son:

M3 =1.000 (1+0,02)1 y M4= 1.000 respectivamente.

En consecuencia, el monto total acumulado inmediatamente después del último pago es:

M = M1+ M2+ M3+ M4 = 1.000 (1+0,02)3 + 1.000(1+0,02)2+1.000(1+0,02)1+1.000

Esquemáticamente, el proceso es el siguiente:

0 1 2 3 4 meses

2% 2% 2% 2%[pic 111]

1.000 1.000 1.000 1.000

+[pic 112][pic 113][pic 114]

1.000(1+0,02) [pic 115]

+

1.000(1+0,02)2 [pic 116]

+

1.000(1+0,02)3 [pic 117]

[pic 118]

M=1.000+1.000(1+0,02)+1.000(1+0,02)2

+1.000(1+0,02)3

Factorizando: M = 1000[ 1+ (1,02) + (1,02)2 + (1,02)3]

M = 1000(4,121608) = 4.121,61

[pic 119]

Para la deducción de la fórmula general obsérvese en el ejemplo anterior que el último pago no alcanza a ganar intereses y el primer pago gana intereses por (n - 1) períodos.

Sean : M = Monto o valor futuro

R = Renta o pago periódico

i = Tasa de interés por período

n = Número de períodos

El primer pago acumula intereses durante (n1) períodos, el segundo durante (n2) períodos y, así sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses, ya que coincide con la fecha de término.

Los montos compuestos de los distintos pagos, comenzando por el último serán :

R, R(1+i), R(1+i)2, R(1+i)3, .... . ............... R(1+i)n2, R(1+I)n-1

El Monto total M de la anualidad, como ya vimos, es igual a la suma de los montos producidos por las distintas rentas R, o sea:

M = R+R(1+i)+R(1+i)2 ............. + R(1+i)n2+R(1+i)n1

Factorizando por R: M=R [1+(1i)+(1+i)2 + (1+i)n2+ (1+i)n1]

Los términos entre paréntesis cuadrado constituyen una progresión geométrica cuya suma, aplicando la fórmula correspondiente es:

[pic 120]

[pic 121]

Luego: M = R [pic 122] (15)

Observación: Al factor [pic 123] se le llama FACTOR DE CAPITALIZACION y se le denota comúnmente por Sn⎤ i y constituye el monto de una renta vencida de una unidad por período colocada a la tasa de interés i por período, durante n períodos.

La solución del ejercicio 1, aplicando la fórmula 15, es:

[pic 124]

El factor: [pic 125] de acuerdo a la simbología mencionada es S4⎤ 0,02 y representa el monto de una renta de $1 colocado al 2%.

De la fórmula Nº 15 se puede despejar "n" en función de M, R e i y “R” en función de M, n, e i.

[pic 126] (15a)

[pic 127] (15b)

La variable "i" no se puede despejar, pero su valor se puede obtener mediante el uso de una calculadora financiera.

Ejercicio 2

¿En cuánto tiempo depósitos de $ 50.000 anuales se transforman en $ 305.255 al 10% anual?.

R :R = 50.000

M = 305.255 Aplicando fórmula 15a) se tiene:

i = 0,10

[pic 128]

Ejercicio 3:

¿Cuánto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular $ 12.500 al cabo de 9 meses?.

R : R = ?

M = 12.500

i = 0,05 trimestral Aplicando fórmula 15b), se tiene:

n = 3 trimestres

[pic 129]= $ 3.965,1

Ejercicio 4:

¿A que tasa de interés mensual se efectuaron 5 depósitos mensuales de $ 10.000, que