Solucion de Ecuaciones Algebraicas (Metodos Numéricos).
Enviado por Helena • 17 de Abril de 2018 • 2.504 Palabras (11 Páginas) • 492 Visitas
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Método de la falsa posición.
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación “por fuerza bruta” es relativamente ineficiente. La falsa posición es una visualización gráfica.
Un inconveniente con el método de bisección es que al dividir el intervalo de a en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de y . Por ejemplo, si está mucho más cercana a cero que , es lógico que la raíz se encuentre más cerca de que de . Un método alternativo que aprovecha esta visualización grafica consiste en unir y con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de la representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una “falsa posición” de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de la se estima mediante:[pic 70]
[pic 71]
En la cual se despeja .[pic 72]
[pic 73]
Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de calculado con la ecuación anterior, reemplazara, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, o , y da un valor de la función con el mismo signo de . De esta manera, los valores y siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de la bisección, excepto en que la ecuación de la falsa posición.[pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]
- Desarrollo del método de la falsa posición.
Multiplicando en cruz obtenemos:
[pic 80]
Agrupando términos y reordenando:
[pic 81]
Dividiendo entre :[pic 82]
[pic 83]
Esta es una de las formas del método de la falsa posición. Observe que permite el cálculo de la raíz como una función de los valores iniciales inferior y superior . Ésta puede ponerse en una forma alternativa al separar los términos:[pic 84][pic 85][pic 86]
[pic 87]
Sumando y restando [pic 88]
Agrupando términos, se obtiene:
[pic 89]
ó
[pic 90]
La cual es la misma ecuación que la de la falsa posición. Se utiliza esta forma porque implica una evaluación de la función y una multiplicación menos que la ecuación . Además esta es directamente comparable con el método de la secante.[1][pic 91]
El método de la falsa posición al igual que el algoritmo de la secante, aproxima la derivada por el cociente pero en este caso los valores de y se encuentran en lados opuestos de la raíz buscada, de modo tal que sus valores funcionales correspondientes tienen signos opuestos, esto es:[pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]
[pic 96]
Se denota y como y respectivamente.[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100]
Se parte del hecho de tener dos valores iniciales y y de que la función es continua en el intervalo de .[pic 101][pic 102][pic 103]
[pic 104]
[pic 105]
Ejemplo:
Tomando en cuenta la ecuación del ejemplo anterior, en el capítulo del método de la secante, evalué la función y realice la tabla de iteraciones.
Iteración: "operando de esta forma, y desarrollando en cada iteración el proceso descrito, el autor consigue clasificar la población en grupos estables".
[pic 106]
Usando la fórmula:
[pic 107]
Y los valores encontrados de la función.
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
[pic 111]
Tenemos que:
[pic 112]
[pic 113]
Y
[pic 114]
[pic 115]
---------------------------------------------------------------
Sustituimos los valores.
[pic 116]
Lo cual sería nuestra primera iteración de la tabla por lo que esta quedaría de la siguiente forma:
[pic 117]
[pic 118]
[pic 119]
[pic 120]
[pic 121]
[pic 122]
1
2
[pic 123]
1
2
1.30435
1.33476
[pic 124]
1.30435
2
1.35791
0.22918
[pic 125]
1.35791
2
1.36697
0.03875
[pic
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