TEMA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE VIBRACIÓN

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Las ecuaciones anteriores pueden usarse para determinar las constantes X y ϕ. Por ejemplo, y son los valores iniciales para el desplazamiento y la velocidad tales que:[pic 37][pic 38]

[pic 39]

Sustituyendo tenemos:

[pic 40]

Con esto podemos encontrar las constantes X y ϕ:

[pic 41]

Solución de ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes

Estas ecuaciones se pueden escribir en la siguiente forma general

[pic 42]

La solución completa de la ecuación anterior puede escribirse como

x = función complementaria + solución particular o

[pic 43]

Donde es la solución de la ecuación:[pic 44]

[pic 45]

Donde es la solución de la ecuación:[pic 46]

[pic 47]

En general, el método para resolver la ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden no homogénea se pueden resumir en las siguientes pasos:

- La función complementaria , que es la solución de la ecuación homogénea dada por la ecuación mostrada previamente, se obtiene primero utilizando el método descritos anteriormente. [pic 48]

- Las funciones independientes que aparecen en la función f(t) y sus derivadas se determinan entonces mediante diferenciación repetida de f(t).

- La solución particular se asume en la forma[pic 49]

[pic 50]

Donde k1, k2,…, kn son n constantes a determinar.

- Sustituyendo esta solución asumida en la ecuación diferencial definida anteriormente, e igualando los coeficientes de las funciones independientes en ambos lados de las ecuaciones, obtenemos n ecuaciones algebraicas que pueden ser resuelta para las incógnitas k1, k2,…, kn.

- La solución completa x se define entonces como x=+. Esta completa solución contiene sólo dos constantes arbitrarias que aparecen en la función . En esta etapa, la solución particular contiene no desconocidas constantes, y las condiciones iniciales = x (t = 0) y = (t = 0) se puede utilizar para determinar las constantes arbitrarias en la función complementaria. Sin embargo, es importante subrayar que las condiciones deben imponerse a la solución completa y no sólo a la función complementaria .[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Estabilidad de Movimiento

Se ha mostrado en las secciones anteriores que la solución de la ecuación de vibración consiste en dos partes; la función complementaria y la solución particular. En la teoría de la vibración, la solución particular depende de la excitación externa. En el caso especial de la vibración libre, por otro lado, uno tiene que determinar solamente la función complementaria que contiene dos constantes arbitrarias que se pueden determinar usando las condiciones iniciales. La función complementaria depende de la raíces de las ecuaciones características, y estas raíces dependen de los coeficientes del desplazamiento y sus derivadas temporales en la ecuación diferencial. Por consiguiente, estos coeficientes, que representan inercia, amortiguación y rigidez afectan la forma de la función complementaria y la solución completa del problema de las vibraciones. En términos de estas raíces, la forma general de la función complementaria está dada por:

[pic 59]

Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias y p1 y p2 son las raíces de la ecuación característica.

BIBLIOGRAFÍA

- Theory of vibration an Introduction Vol I. Shabana. Segunda Edición