Tema- “ANTONIO RUIZ DE MONTOYA”.

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Luego de las contribuciones del período Helenístico, donde tanto Euclides como Eratóstenes contribuyeron al desarrollo de los números primos, se dio un gran vacío en la historia de los números primos que usualmente es llamado la Edad Oscura.

Pasaron cerca de catorce siglos, hasta que John Napier, nació en 1550 en el castillo de Merchiston, cerca de Edimburgo, Escocia, centró su interés por la matemática. La mayor creación de Napier, en lo que a la historia de la matemática se refiere, fueron los logaritmos, un ingenioso método de cálculo que publico en 1614.

En la mayoría de las tablas de logaritmos de Napier se adjuntaba a final una lista de números primos. El asunto puede tener una explicación bastante admirable, si tenemos en cuenta que cualquier número se puede expresar como un producto de factores primos.

Para la misma época encontramos a Marin Mersenne nacido el 8 de septiembre de 1588 en Oizé (Francia), donde de sus andanzas en los primeros años de su vida apenas se tiene datos. Se sabe que trabó una amistad con Descartes, condiscípulo suyo y con quién mantendría una sólida amistad toda su vida.

La gran obra científica puramente matemática fue Cogitata Physico-Mathematica (1644), en la que aparece su estudio sobre los números primos.

Mersenne afirma que de entre todos los números primos que hay entre 2 y 257, el número 2p – 1 solo es primo si el valor de p es alguno de los siguientes números:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Es fácil demostrar que si 2p-1 es primo, entonces p debe ser primo. Este resultado llevó a Mersenne a investigar qué sucedía cuando en esta expresión se introducía un número p que fuera primo. Tuvieron que pasar cien años para que Euler consiguiera demostrar que 231-1 era primo. En 1947 se resolvió por completo la lista quedando del siguiente modo:

p= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.

El próximo gran descubrimiento sobre los números primos fue realizado por Fermat muchos siglos más tarde. Pierre de Fermat nació en Francia en 1601 y las matemáticas eran su gran afición. El demostró que cada número primo de la forma 4n+1 puede ser escrito de manera única como la suma de dos cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización de números largos, y un teorema importante es el que se conoce como El pequeño teorema de Fermat, este establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a módulo p.

Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época, y en particular con el monje Marin Mersenne. En una de sus cartas a Mersenne, conjetura que los números 2n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. El había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma son llamados Números de Fermat, y no fue hasta más de 100 años más tarde que Euler demostró que 232 + 1 = 4294967297 es divisible por 641 y por tanto no es primo. Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. A menudo estos son llamados Números primos de Mersenne, dado que Mersenne los estudió. No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos.

La teoría de números del siglo XIX fue impulsada gracias a los resultados de Fermat.

Cien años más tarde que Fermat, nace [pic 3]Euler, quien fue el científico más importante de Suiza, nacido en Basilea en 1707. El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría de números en general y sobre la de primos en particular. Fue el primero en publicar la prueba del Pequeño Teorema de Fermat, y también demostró otra famosa afirmación de Fermat: “un primo de la forma 4n+1 se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos de manera única, mientras que un número de la forma 4n-1 no puede descomponerse de ninguna forma como suma de dos cuadrados perfectos”.

Pero esto fue solo el principio, profundizó mucho en este tema y cuatro volúmenes de sus obras completas tratan de teoría de números. De su correspondencia con Christian Goldbach, surgió la conjetura de Goldbach: “todo número par mayor que 2 es suma de dos primos”.

Euler fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando herramientas del análisis. Una gran contribución suya fue la prueba analítica de la infinitud de los primos.

Además estudió el comportamiento de la suma de los inversos de los primos, y vio que divergía.

A medida que avanzaba el siglo XIX, cada vez intrigaba mas entender como estaban distribuidos los números primos entre todos los números. En este siglo encontramos a un matemático muy particular, Gauss.

[pic 4] Gauss, matemático alemán nacido en Brunswick, fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Hizo una labor importante en la Teoría de Números, responsable del desarrollo del lenguaje y de las notaciones de la rama de la Teoría de Números conocida como álgebra de congruencias, ejemplo primitivo de las clases de equivalencia. En 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: “todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y solo una forma.”

A la temprana edad de 14 años, conjeturó que cuando x crece ilimitadamente, el número de primos menores o iguales que x, llamado π(x), es como x/log(x). La demostración de esta conjetura, conocida como el Teorema de los números primos, requirió casi cien años para ser demostrada. En 1896, Jacques Hadamard y Charles de la Vallee Poussin dieron demostraciones completas y rigurosas de que (π(x)logx)/x se acerca indefinidamente a 1 cuando x crece, tras los notables progresos realizados por Chebychev y Riemann durante el siglo XIX.

Georg Friedrich Riemann fue un matemático alemán, nacido en Breselenz en 1826 y fallecido en Selasca (Italia). Empezó su vida con estudios religiosos, intentando demostrar la veracidad del Génesis mediante razonamientos matemáticos. Fracasó en el intento, pero descubrió su talento matemático y su ambición religiosa se desvió. En 1851 su tesis doctoral recibió la aprobación ni más ni de menos que del propio Gauss.

Riemann