Temas de Mate Binomio al cubo

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¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado".

Por ejemplo:

(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.

Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".

Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x2 + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)2.

Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

a2 + 2.a.b + b2

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a2 y b2. Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en:

x2 + 10x + 25

Los términos "cuadrados" son x2 y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.

Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)2.

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)2 es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio

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Producto de 2 Binomios

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

1) (x + 2)(x + 7 ) = x2 + (2 + 7)x + (2)(7)

a) El cuadrado del término común es (x) (x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Entonces: (x + 2)(x + 7 )= x2 + 9x + 14

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y) =

(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y)

Agrupando términos:

(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

En el caso (p-a+b+c) = (p-a-b-c) = (p-a)^2 -(b+c)^2 ,1 aparecen polinomios.

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Multiplicación algebraica

La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicado, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.

- El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.

- El orden de los factores no altera el producto

- Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la Multipliación.

- La ley de los signos para la multiplicación es: Signos iguales dan + y signos doferentes dan -

O sea:

+ por + da +

- por - da +

+ por - da -

- por + da -

Ejemplo:

[pic 1]

Ejemplo:

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Ejemplo:

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Ejemplo:

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Ejemplo:

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Ejemplo:

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La ley de los exponentes para la multiplicación es: para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base