UNIDAD II: TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

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P(E) = = hi.[pic 8]

Ambas teorías se llaman definiciones objetivas de probabilidad. La primera es objetiva porque se basa en la deducción de un conjunto de supuestos, y la segunda, porque la probabilidad de un hecho es determinada por repetidas observaciones empíricas.

- 2.4.3. Teoría subjetiva o teoría personalista: considera la probabilidad como una medida de confianza personal en una proposición particular; es decir, el investigador asigna un peso entre 0 y 1 a un hecho según su grado de creencia en su posible ocurrencia.

2.4.4. Postulados de la teoría de probabilidad: axiomas y propiedades creados para poder operar con eventos.

- Axiomas y propiedades de las familias de eventos (F):

- Axioma F1: si Φ y Ω son eventos, entonces Φ (evento imposible) y Ω (evento cierto) pertenecen a la familia de eventos.

- Axioma F2: dado un conjunto numerable de eventos, la intersección de ese conjunto es un evento.

- Axioma F3: dado un conjunto numerable de eventos, la unión de ese conjunto es un evento.

- Axioma F4: si A es un evento y su complemento, es un evento.[pic 9][pic 10]

- Propiedad: si A y B son eventos, la diferencia entre A y B tbn es un evento.

- Axiomas y propiedades referidas a la probabilidad de eventos:

- Axioma P1: Existencial: si A es un evento tiene asociada una probabilidad → a Є F → existe para A un número P(A).

¥A: Э P(A) / P(A) ε R

- Axioma P2: Positividad o ley de no negatividad: la probabilidad de un hecho o espacio de muestra es no negativa.

¥A: P(A) ≥ 0

- Axioma P3: Certeza, certidumbre: la probabilidad del evento seguro o cierto es 1.

- Axioma P4: Ley de probabilidad total o regla aditiva especial: dado un conjunto de eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de dichos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades.

Si A y B son hechos disjuntos, P(A U B) = P(A) + P(B).

- Propiedad P5: la probabilidad de la diferencia entre dos eventos A y B, es igual a la diferencia de las probabilidades de ambos eventos

Si A y B Є F | A c B → P(B-A) = P(B) – P(A)

- Propiedad P6: Ley de complementación: La probabilidad de la unión de dos eventos complementarios, es igual a la suma de las probabilidades de ambos eventos, que es 1.

Si A Є F → P() = 1-P(A) → P( U A) = P() + P(A) = 1[pic 11][pic 12][pic 13]

- Propiedad P7: si Ω es cualquier espacio de muestra y P es cualquier función de probabilidad definida en Ω, P(Φ) = 0; es decir, si el conjunto de hechos es el conjunto nulo, el hecho es una imposibilidad para la cual la probabilidad de ocurrencia es 0. El conjunto nulo no contiene puntos de muestra, por lo tanto, no se le puede asignar ningún peso.

- Propiedad P8: la probabilidad de un evento es un número que va de 0 a 1

- Propiedad P9: dados dos eventos A y B, de tal manera que A es un subconjunto propio de B, la probabilidad de A es menor que la probabilidad de B.

- Propiedad P10: en un subconjunto finito numerable de eventos no necesariamente mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de dichos conjuntos es ≤ a la suma de las probabilidades.

2.5. PROBABILIDAD TOTAL: probabilidad del evento que resulta de la unión de eventos. Aplicación:

- Eventos mutuamente excluyentes: axioma P4: ley de probabilidad total o regla aditiva especial.

Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B)

(A ∩ B) = Φ

- Eventos no mutuamente excluyentes: propiedad P10.

Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A ∩ B)

Pr(A ∩ B) ≠ Φ

2.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL: ley: es la probabilidad de que ocurra un hecho A, dado que otro hecho B ha ocurrido

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

. P(A/B) ≠ P(B/A)

. Todos los eventos están asociados con algún espacio probabilístico → P(A) = P(A/Ω)

. Las probabilidades P(A) y P(B) corresponden a eventos planteados en el espacio original. La suma de las probabilidades de los eventos elementales en el espacio probabilístico reducido es igual a 1.

. La probabilidad del evento en el espacio reducido debe ser mayor que 0, sino la probabilidad condicional no estaría definida.

. Cuando las probabilidades no condicionales y condicionales de un evento son distintas, implica dependencia estadística de dos eventos.

. Cuando son iguales implica independencia estadística de eventos.

Probabilidades conjuntas y marginales:

- Probabilidades conjuntas: probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos hechos.

- Probabilidades marginales o individuales: se obtienen sumando cada fila o cada columna de probabilidades conjuntas, y son las que se encuentran en los márgenes del cuadro. Señala la probabilidad no condicional del evento identificado según el encabezado de la columna o fila.

Interpretación: Si se elige al azar una persona en un grupo de 400 votantes, la probabilidad de que esté a favor del plan de impuestos es de 0,55; y de que pertenezca al PRI es de 0,35.

2.7. PROBABILIDAD COMPUESTA O CONJUNTA: (regla multiplicatoria general):

Los hechos dependientes son generados por muestreo sin reposición; y los independientes por muestreo con reposición.

El muestreo sin reposición es un proceso de selección al azar de n unidades, muestra de una población de N unidades, sin devolver a la población ninguna unidad escogida antes de