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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos se le llama variable aleatoria continua.

Los resultados experimentales basados en escalas de medición tales como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas. Considere, por ejemplo, el experimento de observar las llamadas telefónicas que llegan a la oficina de atención de una importante empresa de seguros. La variable aleatoria que interesa es en minutos entre dos llamadas consecutivas. Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor en el intervalo . En efecto, x puede tomar un número infinito de valores, entre los que se encuentran valores como 1.26 minutos, 2.751 minutos, 4.3333 minutos, etc. Otro ejemplo, considere el tramo de 90 km de la carretera entre Mexicali B.C. y Caborca Sonora. Para el servicio de ambulancia de emergencia en Mexicali, la variable aleatoria x es en este tramo de la carretera. En este caso, x es una variable aleatoria continua que toma cualquier valor en el intervalo . [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

En la tabla la siguiente tabla aparecen otros ejemplos de variables aleatorias:

EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Experimento

Variable aleatoria (x)

Posibles valores

Operar un banco

Tiempo en minutos entre la llegada de los clientes

[pic 16]

Llenar una lata de refresco (355 ml)

Cantidad de mililitros

[pic 17]

Probar un proceso químico nuevo

Temperatura a la que tiene lugar la reacción deseada

[pic 18]

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de la variable aleatoria

En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está definida por una función de probabilidad .[pic 19]

¿Cómo asignamos una probabilidad P a los valores del rango de una variable aleatoria?

Dado , entonces [pic 20][pic 21]

Ejemplo: lanzar cuatro veces una moneda.

Espacio muestral: [pic 22]

X es la variable aleatoria que expresa el número de cruces obtenidas. (toma el valor de 0 cuando el resultado es , el valor de 1 si , el valor de 2 si , el valor de 3 si y el valor de 4 si .[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Se quiere hallar la probabilidad de que aparezcan más de dos cruces: [pic 29]

[pic 31][pic 30]

Se quiere calcular la probabilidad de que el número de cruces sea más de 1 y menos de 4.

[pic 32]

Como ejemplo de una variable aleatoria discreta y de su distribución de probabilidad. Las ventas de automóviles en Honda Óptima Mexicali durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo 57 días en los que no se vendió ningún automóvil, 117 días en los que se vendió 1 automóvil, 72 días en los que se vendieron 2 automóviles, 42 días en los que se vendieron 3 automóviles, 12 días en los que se vendieron 4 automóviles y 3 días en los que se vendieron 5 automóviles. Suponga que considera el experimento de seleccionar un día de operación en Honda Óptima Mexicali y se define la variable aleatoria de interés como

. [pic 33]

De acuerdo con datos, se sabe que x es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En la notación de funciones de probabilidad f(0) da la probabilidad de vender 0 automóviles, f(1) da la probabilidad de vender 1 automóvil, y así en lo sucesivo. Como los datos indican que en 54 de 300 días se vendieron 0 automóviles, a f(0) se le asigna el valor 54/300 .[pic 34]

Los valores que se muestran en la tabla siguiente, que es la distribución de probabilidad para el número de automóviles vendidos en un día Honda Óptima Mexicali.

Distribución de la probabilidad para el número de automóviles vendidos en un día en Honda Óptima Mexicali

x

[pic 35]

0

0.18

1

0.39

2

0.24

3

0.14

4

0.04

5

0.01

Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su correspondiente distribución de probabilidad es que una vez que se conoce la distribución de probabilidad, es relativamente fácil determinar la probabilidad de diversos eventos que pueden ser útiles para tomar decisiones.

Por ejemplo, empleando la distribución de probabilidad se observa que el número de automóviles que es más probable vender en un día es 1, ya que es f(1) = 0.39. Además se observa que la probabilidad de vender tres o más automóviles en un día es f(3)+ f(4)+ f(5)= 0.14+ 0.04+0.01= 0.19. Estas probabilidades, junto con otras que pueden interesar para tomar decisiones, proporcionan información que sirve de ayuda al encargado de la toma de decisiones para entender la venta de automóviles en Honda Óptima Mexicali.

Al elaborar una función de probabilidad para una variable aleatoria discreta, deben satisfacerse las dos condiciones siguientes.