Ejemplo 1: En las siguientes ecuaciones diga que posible curva es

...

SOLUCIÓN: El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso[pic 8]:

[pic 9]

Por lo tanto, el centro es C (-2,2). El radio es la es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

[pic 10]

La ecuación de la circunferencia pedida es:

[pic 11]

Ejemplo 7: Hallemos la ecuación de la parábola con foco (2,0) y directriz la recta X= -2. Dibujemos la grafica.

Solución: Según los datos del problema tenemos que:

[pic 12][pic 13]

[pic 14][pic 15]

El eje focal es el eje x. Por lo tanto la ecuación es:

[pic 16][pic 17] =[pic 18][pic 19]

[pic 20][pic 21] = [pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25] = [pic 26][pic 27]

[pic 28]

Ejemplo 8: Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-5,10), hallemos su ecuación y dibujemos su grafica.

Solución: Como el vértice es (0,0) y ele je focal es el eje x, Entonces la ecuación de la parábola es de la forma: [pic 29][pic 30] =4px

Donde desconocemos el valor de p

Puesto que la parábola pasa por el punto (-5,10) entonces sus coordenadas deben satisfacer la anterior ecuación. Por tanto:

[pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34]

[pic 35]

Luego la ecuación de la parábola es: [pic 36][pic 37]

Como p es negativo, entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen

Ejemplo 9: Encontrar una ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y = 1 y como foco el punto F (-3, 7).

[pic 38]

Solucion: P= 3 ⇒ LR = QQ’ = |4P| = 12; ⇒ Ec. → (x-h)2 = 4p (y-k)

⇒ (x+3)2 = 4x3 (y-4); ⇒ x2 + 6x + 9

= 12y - 48

[pic 39]

Ejemplo 10: Dada la parábola que tiene por ecuación y2 + 6x + 8y + 1 = 0 encontrar el vértice, el foco, una ecuación de la directriz, una ecuación del eje, y la longitud del lado recto. Trazar la gráfica.

Solución: y2 + 6x + 8y + 1 = 0 ⇒ [pic 40]

(y2 + 8y) = - 6x –1 ⇒

(y2 + 8y + 16) = -6x – 1 + 16 ⇒

(y + 4) = - 6x + 15 ⇒

(y + 4)2 = - 6 (x – 15 /6)

[pic 41]

[pic 42]

Ejemplo 11: Determinar la gráfica de la ecuacion 25x2+16y2+150x+128y-1119=0. Encontrar los vértices, focos, excentricidad y extremos del eje menor.

Solucion:

25x2+16y2+150x+128y -1119=0;

⇒ (25x2+150x) + (16y2 +128y ) = 1119;

⇒ 25 (x2+ 6x) + 16(y2 + 8y) = 1119;

⇒ 25 (x2+ 6x +9) + 16(y2 + 8y+16) = 1119 +

25x9 +16x16;

⇒ 25 (x+3)2 + 16(y+4)2 = 1600

⇒ ÷ 1600 → 25(x +3)2 + 16(y+4)2 = 1600

1600 1600 1600

⇒ (x+3)2 + (y+4)2 = 1 → c(-3,-4)

- 100

↓ ↓

b2 a2

⇓ ⇓

b=8 a=10

a2 =b2+c2 ⇒100=64 + c2

⇒ c= 6; e = c/a = 6/10 = 0,6;

[pic 43]

Ejemplo 12: Encontrar una ecuación de la elipse para la cual los focos están en

(-8, 2) y (4, 2) y la excentricidad es 2/3. Hacer un dibujo de la elipse.

Solución: La distancia entre los focos es 12; por lo tanto “c” = 6 y e = c/a = 2/3 ⇒ 6/a =2/3 ⇒a = 6*3/2 = 9 ;

⇒ a=9; ⇒ a2 = b2 + c2; ⇒ 81=b2+36; [pic 44]

Ecuac. de la elipse→ (x+2) 2 + (y-2) 2 =1

81 45

↓ ↓

a2 b2

[pic 45]

⇒ 5(x2+4x+4)+9(y2-4y+4) =405 ⇒ 5x2+20x+20 +9y2 -36y+36 =405

405[pic 46]

Ejemplo 13: Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5,0),V1(4,0)yV2(-4,0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN:

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: [pic 47]

En este caso: a = 4; c = 5, de donde [pic 48]

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: [pic 49]

Ahora, [pic 50]

[pic 51] [pic 52] [pic 53] [pic 54]

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: [pic 55] y, [pic 56]

Ejemplo 14: Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: [pic 57] Determine: coordenadas de los focos,