APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA

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Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por y = -16[pic 18]t[pic 19] + 100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?. Si desea llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja está en su punto más alto. Por sentido común, en la parte más alta la velocidad [pic 20] debe ser cero. Alternativamente se busca un máximo, así que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:

[pic 21]

y = -16 t[pic 22] + 100 t + 6

[pic 23] = -32t + 100 = 0

y así t = [pic 24] = 3.125 seg.

Por lo tanto, se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el valor máximo de y es entonces:

y = -16 (3.125)[pic 25] + 100 (3.125) + 6 = 162.25 pies

¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico hay un máximo?

[pic 26]

OPTIMIZACION

Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la ingeniería, el comercio y cualquier otra área que requiera de poder calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias máximas o mínimos costos, menor cantidad de material para máximos volúmenes etc., es en donde se vuelven importantes los procesos de optimización y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la determinación de estos valores a partir de uno de sus conceptos mas importante que es el de la derivada en la obtención de máximos y mínimos a partir de una función.

Pasos a seguir para resolver problemas de optimización:

- Lee el problema hasta comprender lo que se pide.

- Realiza uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían.

- Construye el modelo (ecuación) de la situación del problema, para lo cual consideras lo que se desea que sea máximo o mínimo, como pueden ser áreas, volúmenes, costos, dimensiones, etc. y exprésalo en términos de una sola variable, utilizando los datos proporcionados.

- Calcula los máximos y mínimos por el método que desees y resuelve el problema.

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EJEMPLO 1: Determinación de las dimensiones de una lata.

¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de 64 cm3 de jugo, que utilice el mínimo de material (es decir, aluminio)?. La lata es cilíndrica y con tapa en ambos extremos.

Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero otra manera de resolverlo es utilizando máximos y mínimos. Para realizar esto, es necesario elaborar un modelo matemático de la cantidad de material a usar (área de aluminio)

Elaborando un dibujo de la situación, para calcular el área de aluminio se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro.

[pic 27]

El área de cada tapa es [pic 28] r[pic 29] y la del cuerpo del cilindro es 2[pic 30]r h construyendo el modelo (ecuación).

A [pic 31] = área de las tapas + área cilindro

A[pic 32] = 2[pic 33] r[pic 34] + 2[pic 35] r h

Dado que la ecuación está en términos de dos variables h (altura), r (radio) es necesario expresarla en términos de una sola variable, para lo cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro

V[pic 36] = [pic 37] r[pic 38]h

Como conocemos que V = 64 cm[pic 39] sustituyendo en ecuación anterior:

64 =[pic 40] r[pic 41]h

Despejamos la h (altura) resultando:

h = [pic 42]

Sustituyendo en A[pic 43] queda:

A[pic 44] = 2 [pic 45] r[pic 46] + 2 [pic 47] r [pic 48]

Simplificando términos

A[pic 49] = 2 [pic 50] r[pic 51] + [pic 52]

Calculando d A[pic 53] obtenemos:[pic 54]

d r

d A[pic 55] = 4[pic 56] R – 128[pic 57][pic 58]

d r r[pic 59]

Utilizando el criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos:

Igualando la derivada a cero se obtienen los valores críticos:

4 [pic 60] r – 128 = 0[pic 61]

r[pic 62]

Despejando r:

r[pic 63] = [pic 64]

[pic 65] r = 2.16cm.

Calculando la segunda derivada

A’’ [pic 66] = 4[pic 67] + [pic 68]

Sustituyendo valor crítico r = 2.16 cm.

A’’[pic 69] = 37.96

Como el signo de la segunda derivada es positivo el valor crítico es el mínimo.

Cómo r = 2.16 cm. Sustituyendo en h =64/[pic 70](2.16)[pic 71]

h = 4.36 cm.

Por lo tanto las dimensiones de la lata para tener la cantidad mínima de material son:

r = 2.16 cm. y h = 4.36 cm.

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EJEMPLO 2: Un problema económico

Una fabrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de sus trabajadores, convienen en pagar $120.00 por trabajador, si hay un mínimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1.00 por cada persona que exceda de 50. ¿Cuál es el numero de trabajadores que proporcionara el máximo ingreso