Algebra lineal 1ra unidad

...

Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces

z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2).

Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo, buscamos números reales u, v expresados en términos de x e y, tales que

(x, y)(u, v) = (1,0).

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Sea z=(a +bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z, al número real dado por

[pic 1]y lo denotaremos por lzI. El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z.

Ejemplo:

[pic 2]

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1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

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1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rn einθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

Que se le conoce como la fórmula de De Moivre

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BIBLIOGRAFIA

Miller Mark, Gómez Miguel . (2011). algebra lineal. 01/02/2017, de tecalgebralineal Sitio web: https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/

Julián Pérez Porto, Ana Gardey. (2009). Definición de números complejos. 01/02/2017, de Definicion.de Sitio web: http://definicion.de/numeros-complejos/

Morales angel. (2011). Números Complejos. 01/02/2017, de algebralinealmoralescamacho Sitio web: Miller mark,Gómez Miguel . (2011). algebra lineal. 01/02/2017, de tecalgebralineal Sitio web: https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/

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Este trabajo está hecho para explicar las diferentes competencias de la unidad 1 de algebra lineal (ACF-0903), en la cual vamos a ver los números complejos y como aprender a resolverlos. El álgebra lineal es una materia muy importante para el estudio del ingeniero mecánico, ya que es la rama de las matemáticas qué estudia ecuaciones lineales, transformaciones lineales, matrices, vectores y espacios vectoriales, por lo tanto todas estas ramas de las matemáticas son vitales para poder ejercer las demás materias de la carrera y sin aprender esta no nos sería posible continuar con las demás materias que la necesitan.