Algebra lineal. LIBRO DE ESTRUCTURA

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B= {f: R→R̸ f es biyectiva}

En el conjunto B está formado por funciones reales de variables reales que son biyectivas.

C= {f: Z→N ̸ f (0) =1}

C es un conjunto de funciones naturales de variables enteras que cumplen la siguiente condición que la imagen de cero sea igual a 1.

G = {a + b√2 ̸ a ˄ b Q} (*)[pic 7]

El conjunto G está compuesta por números que tienen la forma de a + b√2 donde el primer sumando es un número racional y el segundo también es un número racional pero multiplicado por √2; elementos de este conjunto podrían ser: + , (en este caso la “a” vale cero (0)). En cambio, + , no es un elemento del conjunto G, ya que al segundo sumando le falta la multiplicación con raíz cuadrada de dos.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Ahora, si a cualquiera de estos conjuntos dados, se le asignara una operación para verificar si con ella se conforma un grupo, entonces se tendría que demostrar que se cumplen estas cuatro propiedades:

- Cerradura: a, b G se debe cumplir que a o b = c, siendo c un elemento del conjunto G; esto también significa que la operación es interna, e implica que siempre que se operen dos elementos del conjunto dado, debe dar otro elemento del mismo conjunto.[pic 13][pic 14]

- Asociatividad: [pic 15]

Significa que si tengo tres elementos pertenecientes a un conjunto (en este caso se le ha dado el nombre de G), el resultado no se altera, es decir, da igual o se mantiene, independientemente de la forma como se agrupen los elementos.

- Elemento neutro: [pic 16]

Significa que existe un único elemento perteneciente al conjunto G (o al conjunto dado), que al ser operado a la izquierda o a la derecha con cualquier elemento del mismo conjunto da como resultado este último elemento. Al elemento neutro se le suele simboliza con la letra e.

- Elemento simétrico: [pic 17]

Significa que para cada uno de los elementos del conjunto dado, existe un elemento del mismo conjunto, que al operarse entre sí, bien sea a la izquierda o a la derecha, generan el elemento neutro encontrado en el procedimiento anterior. Al elemento simétrico se le suele simbolizar con la letra empleada para el elemento general del conjunto acompañada de un exponente menos uno.

Si esto lo aplicáramos al conjunto G dado en (*), con la operación adición para saber si es grupo; es decir, si se tiene (G,+) para comprobar que es grupo, se deben verificar las propiedades antes explicadas así:

Asociativa: se tiene que dar que x + (y + z) = (x + y) + z, con x, y, z ; entonces primero hay que definir x, y, z, de la forma: x = a1+b1√2, y = a2+b2√2, z = a3+b3√2, siendo a1, a2, a3, b1, b2, b3 Q (por definición de G).[pic 18][pic 19]

Así que tomando la primera parte de la igualdad en la asociativa, es decir:

x + (y + z) equivale a; (a1+b1√2) + [(a2+b2√2) + (a3+b3√2)], lo cual es igual a: (a1+b1√2) + [(a2+ a3) + (b2√2+b3√2)] = (a1+b1√2) + [(a2+ a3) + (b2+b3)√2)] = (a1+ a2+ a3) +(b1√2 + (b2+b3)√2) = (a1+ a2+ a3) + (b1+ b2+b3)√2 (i)

Ahora tomando la segunda parte de la igualdad de la asociativa, es decir: (x + y) + z equivale a; [(a1+b1√2) + (a2+b2√2)] + (a3+b3√2), lo cual es igual a: [(a1+ a2) + (b1√2 + b2√2)] + (a3+b3√2) = [(a1+ a2) + (b1 + b2)√2] + (a3+b3√2)= (a1+ a2+ a3) + ((b1 + b2)√2 +b3√2) = (a1+ a2+ a3) + (b1+ b2+b3)√2 (ii)

Puede verse que (i) e (ii) son iguales, por lo tanto, se cumple la igualdad de la asociativa, y se puede decir que esta propiedad se cumple.

Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de elementos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna que los relaciona. Esta ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo.

La teoría de grupos tiene como función, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. Los grupos sirven como guía a otras estructuras algebraicas tales como por ejemplo los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales, se utiliza mucho en el área de la física y la química, también en la simetría, códigos binarios y muchos otros campos.

Una definición acerca de la teoría de grupo seria que es un conjunto no vacío G en donde hay definida una operación binaria llamada producto, la cual satisface:

1. a. b G para todo a, b G[pic 20][pic 21]

Ejemplo:

Primero

Otro ejemplo: Sea H = {x Z ̸ 3ǀx}, ¿será (H, +) un grupo?[pic 22]

- Sea p y q elementos en H. Veamos que p + q H. Como p H y q H, entonces 3ǀp y 3ǀq; quiere decir p = 3a y q = 3b para algunos a y b en Z. tenemos que p + q = 3a + 3b ; por sustitución [pic 23][pic 24][pic 25]

= 3 (a + b); por distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

- Como a y b son enteros podemos decir que c= a + b y así p + q = 3c, es decir 3ǀp + q H. en consecuencia H es cerrado para la adición en Z.[pic 26]

- Es conocido por axiomática de los enteros que la adición es asociativa en Z. En particular lo serán en H.

- Sabemos que cero (0), es el elemento neutro de la adición en Z. Además 3ǀ0 (es decir 0 es múltiplo de 3), por lo tanto 0 es el elemento neutro de H.

- Sea ñ en H, es decir ñ = 3h, en h Z, así –ñ = -3h, en lo cual –ñ = 3(h) y en consecuencia –ñ H, es tal que –ñ + ñ = ñ + (-ñ) = 0[pic 27][pic 28]

De 1, 2, 3,4 y 5 decimos que (H,+) es grupo. El grupo de los múltiplos de 3.

Definición

Entonces tenemos que un grupo es una estructura algebraica que debe cumplir algunas condiciones o propiedades. Es un conjunto de elementos en los que se cumplen una operación binaria a la cual se comprueban ciertas propiedades.

Modelización matemática: es la operación matemática de problema. Veamos:

x (x + 1) = 90 → este es una ecuación que se lee “ el producto de los números a conseguir da noventa.