Base ortonormal y proceso de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt

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1. Para levantar un objeto pesado y no lastimarte laespalda

2. Para la navegación aérea

3. Para jugar billar

4. Para mejorar tu rendimiento en cualquier deporte que practiques

5. Para usar cualquier tipo de herramienta de la maneraadecuada

6. Para mejorar los Radares

7. para la navegación marítima

8. Para entender cómo funciona toda la tecnología queusas (internet, móvil, PC, etc.) y así puedas encontrar las fallas cuando las tengas

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Una aplicación lineal (o transformación lineal) es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones (suma de vectores y producto por escalares). Desde el punto de vista práctico podemos considerar que una aplicación lineal f : R n −→ R m es siempre una función de la forma f(⃗x) = A⃗x con A ∈ Mm×n cuando escribimos ⃗x y f(⃗x) como vectores columna. Las filas de A están formadas por los coeficientes que aparecen en las coordenadas de f(⃗x) Geométricamente, una aplicación lineal es una manera de deformar los objetos [Gol86], en cierta forma como verlos en perspectiva. Dicho sea de paso, las aplicaciones lineales que dan la perspectiva son cruciales en el software 3D (por ejemplo, los videojuegos) y curiosamente se representan por matrices M4×4.

Ejemplo. La aplicación f : R 3 −→ R 2 dada por f(x, y, z) = (x + y + 2z, x − y) es lineal y su matriz es A = ( 1 1 2 1 −1 0) porque ( x + y + 2z x − y ) = ( 1 1 2 1 −1 0) ( x y z )

En realidad la descripción anterior de las aplicaciones lineales es un poco simplista y con un poco más de rigor sólo se define la matriz de una aplicación lineal una vez que se ha fijado una base con respecto a la cual definir las coordenadas. Sin entrar en detalles (véase [HVZ12]), si pensamos en una aplicación lineal de R n en R n como una función que a cada ⃗x ∈ R n le asigna ⃗y = A⃗x, otro “observador” que usase una base distinta vería ⃗y′ = C⃗y y ⃗x′ = C⃗x con lo cual ⃗y′ = CAC−1⃗x′ , entonces para él la matriz sería CAC−1 . Ésta es la fórmula de cambio de base. Aunque aquí no profundizaremos sobre ella, motiva las fórmulas que aparecen al diagonalizar.

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Conclusión

• Los vectores u1, u2, . . . , uk en Rn forman un conjunto ortogonal si ui • uj = 0 para i ≠ j. Si además ui • ui = 1 para i = 1, 2, . . . , k, se dice que el conjunto es ortonormal.

• se llama longitud o norma de v. [pic 22]

• Todo subespacio de Rn tiene una base ortonormal. El proceso de ortonormalización de GramSchmidt se puede utilizar para construir tal base.

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Bibliografía

Grossman, S.I (2012). Algebra Lineal. (7ª ed.). México. Mc Graw-Hill.

Kolman, B. (2013). Algebra Lineal. México. Pearson Educacion.

http://www.ehu.eus/izaballa/Ana_Matr/Apuntes/lec6.pdf