Como se da un Portafolio algebra lineal

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1.- Realizar una consulta bibliográfica sobre el concepto de espacio y subespacio vectorial.

Espacio vectorial

Un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido. Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier número natural.

Mientras que un espacio vectorial es un conjunto no vacio de V objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a diez axiomas(o reglas) que se dan a continuación. Los axiomas deben valer para todos los vectores u, v, y w en V y todos los escalares c y d.

1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V

2. u + v = v + u

3. (u + v)+ w = u + ( v + w )

4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u

5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u ) = u.

6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V

7. c (u + v) = cu + cv

8. ( c+ d ) u = cu + du

9. c(du) = (cd)u

10. 1u=u

Los espacios de n ℜ con n ≥ 1, son los ejemplos principales de espacios vectoriales.

Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Es decir, Un subespacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:

A. El vector cero de V está en H 2

B. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H

C. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H

2.- Analizar los axiomas que definen a un espacio vectorial.

Los axiomas son verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o como base para una argumentación. Y los axiomas de un espacio vectorial son los siguientes:

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

3.- Verificar si se forma un espacio vectorial dado un conjunto de elementos y las operaciones entre ellos

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

- Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo (V,V) y *(V,K), admiten una redefinición del tipo + (V,V) =(V,V) y .(K,V)= *(V,K) cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

- Si supiésemos que V es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

- Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V tendríamos probados los apartados 5 y 6.

- Si no se dice lo contrario:

av ≠ va

4.- Investigar ejemplos de subespacios.

Ejemplo 1

De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que es un espacio vectorial.[pic 4]

Los espacios , con n≥1, son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.[pic 5][pic 6]

Los vectores de son n-uplas de números reales, o sea:[pic 7]

[pic 8]

En , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:[pic 9]

Sean [pic 10][pic 11]

[pic 12]

Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2

De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada m y n es un espacio vectorial.[pic 13]

Tenemos