Definicon de ecuacion lineal

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La independencia lineal puesta en palabras:

- Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente.

- Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente independiente, si y sólo si, ningún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si ninguno de los vectores depende de los demás, el conjunto es independiente.

- Si un vector es un múltiplo escalar de otro, los vectores son linealmente dependientes.

- Cualquier conjunto de mas de n vectores de [pic 39] es linealmente dependiente.

Finalmente:

Sean [pic 40] n vectores de [pic 41], las siguientes condiciones son equivalentes

- Los vectores son independientes.

- La matriz A que tiene a estos vectores como vectores columna es invertible.

- A se puede reducir a la matriz identidad de [pic 42]. (A es equivalente por renglones a In).

- La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.

- [pic 43].

El Wronskiano

30 de Agosto de 2010 Publicado por Victoria Pérez

Los Wronskianos son funciones denominadas de tal forma en honor al físico, filósofo y matemático polaco Josef Hoene-Wronski (1778-1853). Son fundamentales en el estudio de los sistemas ecuaciones diferenciales. Dichos sistemas surgen en problemas que se relacionan principalmente con las variables dependientes las cuales son función de la propia variable independiente. Son de utilidad para determinar si dos funciones son independientes linealmente y de esta forma crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones diferenciales, veamos entonces un ejemplo.

[pic 44]

a, b y c son constantes en la siguiente ecuación diferencial, que a la vez es de segundo orden, de primer grado y homogénea.

Es posible que la solución a esta ecuación sea una combinación lineal como la que vemos a continuación,

[pic 45]

Debemos comprobar lo anterior y una de las formas para hacerlo es anotar la ecuación en forma de operador. Siendo así nos quedaría:

[pic 46]

Las raíces de esto son λ1 y λ2

Como el polinomio es de segundo grado podemos obtener dos raíces, las cuales pueden ser, reales diferentes, reales iguales o complejas conjugadas.

Para probar si es posible realizar esta combinación es posible el uso del Wronskiano como determinante. Los resultados a comprobar son:

[pic 47]

Es de gran importancia tener en cuenta que la solución general es,

[pic 48]

Es una combinación lineal que corresponde a las dos soluciones. Se conoce que las raíces son reales y diferentes, por lo cual si se utiliza la fórmula general, el discriminante de esta será mayor que las raíces las cuales son reales y diferentes en este caso:

[pic 49]

En la primera línea se deben colocar las soluciones que se probarán si son dos, el wronskiano es entonces de 2×2. En la línea secundaria se ubicarán las derivadas de las soluciones. Entonces si dan como resultado,

[pic 50]

Las derivadas serán estas,

[pic 51]

Cuando son colocadas en el determinante tenemos lo siguiente,

[pic 52]

Se resuelve esto con la operación que sigue,

[pic 53]

El Wronskiano es entonces:

[pic 54]

Si el Wronskiano es diferente de cero, las funciones son linealmente independientes. Si las raíces son diferentes, entonces no vale cero. Por lo tanto la solución de este ejercicio no puede ser cero puesto que las raíces son diferentes y el único punto donde la exponencial tiene valor cero es si x corresponde a menos infinito. Como el wronskiano es diferente de cero se comprueba que las soluciones son linealmente independientes.

[pic 55]

En otro caso si el discriminante es igual a cero las raíces serán reales e iguales. Si se realiza el Wronskiano con dos raíces iguales, nos da como resultado cero, por lo cual tendríamos soluciones linealmente independientes.

En caso que el discriminante sea menor que cero las raíces serán lo que llamamos complejas conjugadas.

Ecuación Diferencial Homogénea y no homogénea

Un ejemplo de ecuación diferencial no homogénea lineal de primer orden es

[pic 56]

Un valor de la constante c distinto de cero es lo que hace que la ecuacións sea no homogénea y añade un paso mas en el proceso de solución de la misma. El camino hacia una solución general pasa por encontrar previamente una solución a la ecuación homogénea (es decir, quitar la constante c), y luego encontrar una solución particular a la ecuación no homogénea (es decir, encontrar cualquier solución considerando la constante c como parte de la ecuación). La solución a la ecuación homogénea es

[pic 57]

Por sustitución, se puede verificar que estableciando esta función igual al valor constante -c/b satisfacerá a la ecuación no homogénea.

[pic 58]

Forma parte de la naturaleza de las ecuaciones diferenciales, que la suma de soluciones sea también otra solución, de