Investigación Operativa Ayudantía
Enviado por monto2435 • 28 de Septiembre de 2018 • 863 Palabras (4 Páginas) • 313 Visitas
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Z convexa + restricciones convexas + Minimización = Solución óptima.
Reemplazar la restricción -x1 + x2 = 1 por -x1 + x2 ≤ 1 y, x1 - x2 ≤ -1.
El problema queda,
[pic 48]
(1) 2(x1 – 1) – λ1 + λ2 + λ3 – u1 = 0
(2) 2(x2 – 2) + λ1 – λ2 + λ3 – u2 = 0
(3) λ1( 1 + x1 – x2) = 0
(4) λ2(–1 – x1 + x2) = 0
(5) λ3( 2 – x1 – x2) = 0
(6) u1x1 = 0
(7) u2x2 = 0
El caso λ1 = λ2 = u1 = u2 = 0, λ3 > 0, lleva a:
(1) 2x1 + λ3 = 2
(2) 2x2 + λ3 = 4
(5) x1 + x2 = 2
De (1), x1 = (2 – λ3)/2
De (2), x2 = (4 – λ3)/2
De (5), x1 + x2 = (2 – λ3)/2 + (4 – λ3)/2 = 2
6 – 2λ3 = 4
λ3 = 1
x1 = 1/2
x2 = 3/2
Z = [pic 49] = [pic 50] = [pic 51] = 0.5
- Cuesta 2 [$] comprar una hora de mano de obra y 1 [$] comprar una unidad de material. Si se compran L horas de mano de obra y K unidades de material, entonces se pueden construir L2/3K1/2 máquinas. Si se tienen 10 [$] para gastar completamente en mano de obra y material,
- Cuál es el número máximo de máquinas que se pueden construir?
Max Z = L2/3K1/2
2L + K = 10
Aplicando el método de Lagrange obtenemos,
L = L2/3K1/2 – λ(2L + K – 10)
∂L = 2/3L-1/3K1/2 – 2 λ = 0
∂L
∂L = 1/2L2/3K-1/2 – λ = 0
∂K
∂L = 2L + K = 10
∂ λ
1/3(K1/2/L1/3) = λ = 1/2(L2/3/K1/2)
1/3(K1/2K1/2) = 1/2(L2/3/L1/3)
1/3K = 1/2L
K = 3/2L
2L + K = 10
2L + 3/2L = 10
L = 20/7
K = 30/7
Z = 4.17 ≈ 5
[pic 52]
La función objetivo no cumple concavidad, por lo que no podemos afirmar que esta solución es la óptima.
- Cuál es el costo mínimo de construir 6 máquinas?
Min Z = 2L + K
L2/3K1/2 = 6
Aplicando el método de Lagrange obtenemos,
L = 2L + K – λ( L2/3K1/2 – 6)
∂L = 2 – 2/3λL-1/3K1/2 = 0
∂L
∂L = 1 – 1/2λK-1/2L2/3 = 0
∂K
∂L = L2/3K1/2 = 6
∂ λ
3 = λL-1/3K1/2
3L1/3/ K1/2 = λ
2 = λL2/3K-1/2
2K1/2/L2/3 = λ
2K1/2/L2/3 = 3L1/3/ K1/2
L = 2/3K
(2/3)2/3K2/3K1/2 = 6
K7/6 = 6(3/2)2/3
K = 5.856
L = 3.904
Z = 2*3.904 + 5.856
Z = 13.664
La función lineal garantiza convexidad, pero el espacio de soluciones no es convexo, por lo que no podemos garantizar que esta solución sea óptima.
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