LOS SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

...

a22

x3 = b3 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)

a33

……………………Etcétera.

Los valores de las nuevas aproximaciones se obtienen substituyendo en los segundos miembros de estas ecuaciones los valores actuales de cada incógnita. El procedimiento se repite hasta que convergan los valores para todas las incógnitas con la precisión requerida.

Así entonces , para una iteración k+1 tendremos:

x1(k+1) = b1 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)

a11

x2 (k+1) = b2 – (a21 x2 (k+1) + a23 x3 (k) + a24 x4 (k) + ….. + a2n xn (k)

a22

x3 (k+1) = b3 – (a12 x2 (k+1) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)

a33

……………………Etc.

Nótese que para cada cálculo se emplean siempre los valores “más recientes” de cada incógnita. El método de JACOBI utiliza los valores de la iteración anterior para el cálculo de la siguiente, por lo cual su convergencia es más lenta.

El proceso termina cuando en dos iteraciones consecutivas el error para todas las incógnitas es menor que un valor establecido.

El error absoluto para cada variable será: Error = |xi (k+1) – xi (k)|

Para i = 1, 2,3,………., n

Ejemplo 3.1 .-Resolver el sistema dado con 6 8x – y + 2z = 10

decimales exactos (~ .0000001), utilizando x – 9y + z = -8[pic 5]

el método de Gauss-Seidel. 3x + y - 12z = -12

Despejando:

de la ecuación (1): x = (10 + y – 2z)[pic 6]

de la ecuación (2): x = (8 + x + z)[pic 7]

de la ecuación (3): x = (12 + 3x + y)[pic 8]

Valores iniciales: x = 0 , y = 0 , z = 0

Entonces para la primera iteración:

x = (10 + 0 – 0) = 1.25[pic 9]

y = (8 + 1.25 + 0) =1.027778[pic 10]

z = [12 + 3(1.25) + 1.027778)] =1.398148[pic 11]

Para la segunda iteración:

x = [10 + 1.027778 - 2(1.398148)] = 1.028935[pic 12]

y = [8 + 1.028935 + 1.398148] = 1.158565[pic 13]

z= [12 + 3(1.028935) + 1.158565] = 1.3553781[pic 14]

Los resultados de las demás iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

Iteración

x

y

z

3

1.056375

1.156684

1.360484

4

1.054465

1.157217

1.360051

5

1.054639

1.157188

1.360092

6

1.054625

1.157191

1.360089

7

1.054627

1.157191

1.360089

Solución: x = 1.054627 , y = 1.157191 , z = 1.360089

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Como se ha visto, este método utiliza la misma técnica que el de aproximaciones sucesivas y por lo tanto se presentan dos problemas fundamentales: 1) algunas veces no converge y 2) cuando lo hace, es a menudo muy lento.

Una condición de convergencia está dada por el siguiente teorema:

El método converge si el sistema tiene la característica de que el valor absoluto de los coeficientes de la diagonal principal de cada una de las ecuaciones , sea mayor que la suma de los valores absolutos de los demás coeficientes de cada ecuación.

Es decir , converge si:

| aii | > aij | , i j [pic 15][pic 16]

para i = 1, 2,3,………….,n

A los sistemas que satisfacen esta condición se les llama sistemas pesados o diagonalmente dominantes.

Este es un criterio de convergencia suficiente, más no necesario. Es decir, el teorema garantiza la convergencia, sin embargo es posible que exista convergencia a pesar de no cumplirse la condición. En estos casos la convergencia se va haciendo más lenta a medida que el sistema sea “menos pesado”.

Es por eso que para resolver un sistema por este método es necesario ordenar las ecuaciones de tal forma que el sistema sea pesado o “casi pesado”. Desde luego no todos los sistemas pueden arreglarse para que sean pesados; en estos casos el método no se debe emplear. De hecho, este método se diseñó solamente para ser usado en sistemas pesados.

Ejemplo 3.2.- ¿Cuál es el ordenamiento adecuado para que el sistema dado se pueda resolver por el método de Gauss-Seidel?

[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Solución: las ecuaciones se deben ordenar de la siguiente manera