Proceso de ramificacion de multitipos y tiempo continuo

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Otra forma de expresar las transiciones infinitesimales es diferenciar el tiempo hasta que se produce una división y la naturaleza de la división. Así, cada objeto vive una longitud de tiempo aleatoria siguiendo una distribución exponencial con la media . Al término de su vida útil, produce un número aleatorio D de descendientes de objetos similares, donde la distribución de probabilidad de D es:[pic 31]

[pic 32]

La distribución de la vida y la progenie de individuos separados son independientes e idénticamente distribuidas. Teniendo en cuenta los supuestos de independencia, en particular la propiedad de que los individuos actúan independientemente, podemos escribir de manera equivalente en términos de la matriz de probabilidad de transición infinitesimal como:

[pic 33]

(Ya que en un pequeño intervalo una vez que la partícula en el promedio se dividirá) y

[pic 34]

Donde o (h) / h tiende a cero como [pic 35]

Supongamos que denotan la probabilidad de que la población de tamaño i en el tiempo cero sea el tamaño j en el tiempo t, o en símbolos [pic 36][pic 37]

Como indica la notación, esta probabilidad depende solamente del tiempo transcurrido, es decir, el proceso tiene probabilidades de transición estacionarias. Introducimos la función de generación

[pic 38]

Ya que los individuos actúan independientemente, tenemos la relación fundamental

[pic 39]

Esta fórmula caracteriza y distingue los procesos de ramificación de otras cadenas continuas de Markov. Expresa la propiedad de que diferentes individuos (es decir, partículas) dan lugar a realizaciones independientes del proceso no influenciadas por los pedigríes que evolucionan debido a los otros individuos presentes.

En otras palabras, la población X (t; i) que evoluciona en el tiempo t desde i padres iniciales es la misma, probabilísticamente, como la suma combinada de i poblaciones cada una con un padre inicial.

En vista de la homogeneidad temporal, las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov toman la forma:

[pic 40]

Si sumamos las tres fórmulas anteriores obtenemos:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Y en particular:

[pic 44]

Esta relación es el análogo del tiempo continuo de la iteración funcional. Fundamental en el caso de procesos de ramificación de tiempo discretos. A continuación se presenta la función de generación de las probabilidades infinitesimales.

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Ésta es una ecuación diferencial parcial para la función de dos variables, sujetas a la condición inicial

[pic 46]

Mostrará cómo resolver eficazmente

[pic 47]