TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NUMERO COMPLEJO

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[pic 6]

Donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de

Z. Esto lo denotamos por:

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En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n raíces n - eximas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues:

[pic 8]

Luego 1, -1, i, y -i son las raíces cuartas de 1.

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z| (cos θ + i sen θ).

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[pic 10]

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilátero, tal como puede verse en la figura siguiente:

[pic 11]

Ejemplo. Hallar todas las raíces sextas de la unidad.

Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo:

[pic 12]

Con k = 0, 1, 2, 3, 4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0

W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1

W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2

W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3

W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4

W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un

hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

[pic 13]

EJERCICIOS PROPUESTOS.

[pic 14]

Fuente de información.

http://algebralinealichan.blogspot.mx/2012/12/3-5-teorema-de-de-moivre-potencias-y.html