DISEÑO Y APLICACIÓN CONTROLADORES A SISTEMAS NO LINEALES

...

De esta manera, reemplazando las variables de estado en las ecuaciones del sistema anteriormente calculadas empleando el lagrangiano y despejando se obtienen las siguientes expresiones como ecuaciones de estado:

x1 x3

x2 x4

x3 Lmb g 2mB 2 x2 g

[pic 12]

2 J B 2mB x2 2 Jb

2 x4 mB x3 mB g x1

[pic 13]

mB RJ B2

Ya obtenidas las ecuaciones de estado se procedió a la obtención de las matrices de estado del sistema linealizado mediante la aplicación del jacobiano, el cual se define como:

0 0 1 0

0 0 0 1

- [pic 14]xxnn x1,x2,x3,x4 m0B g mB JJb b g0mmB 2 RJb m0 B 2 d 2 00 g[pic 15]

2 2 kg 2 ki km total L2

-

[pic 16]

J B

mB R2

0

x 0

B n Jbkg mkBi total2 R dL C 0 1 0 0[pic 17]

0

Así, una vez obtenidas las matrices linealizadas, se procedió al reemplazo de las siguientes variables alrededor del punto de operación 12cm:

mB 0.0119Kg

mb 0.029Kg

L 0.29m

R 0.0071m

g 9.8m s2 [pic 18]

JB 2.397x107Kg m2

Jb 8.129x104Kg m2

d 0.015m kg 14 ki 0.0077 km 0.0077

total 0.85

Rm 2.6

Una vez reemplazados los valores en las matrices A, B, C, fue necesario discretizar las matrices debido a que el diseño del controlador se requiere en tiempo discreto ya que este debe implementarse en un microcontrolador o tarjeta embebida.

De esta manera el procedimiento para la discretización de cada una de las matrices y el cálculo de la matriz del controlador y del observador se expresa a continuación teniendo como parámetros de diseño: 0.4, ts 5seg .

Y tomando las siguientes variables como t T 0.5961 , alfa 0.0042 y beta 0.1786 , se tiene, realizando la sustitución correspondiente, las matrices

discretas que se muestran a continuación:

1 0.0017 0.0394 0 0.0097

G laplace1S I A1 0.0124 1 0.0002 0.0596 H T G dt 0

0.0002 0.0488 0.41 0.00017 0 B 0.2842

0.4173 0.0002 0.0094 1 0.0014

De esta manera, la matriz del observador por oscilaciones muertas (O.M. No hay riple al alcanzar la referencia ni error de estado estacionario), se obtiene de la siguiente forma:

1

C

C G Ke G4 2

C G

C G3

0 63.7447

0 3.4101

0 65.8977

1 53.3818

Y finalmente la matriz del controlador se obtiene empleando los parámetros de diseño, y aplicando la ecuación que se muestra a continuación:

K 0 0 0 1H G H G2 H G3 H1 Phi

1 0 0 0

Phi G4 2alfaG3 alfa2 beta2G2 2alfabeta2G alfa2 beta20 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

K 170.5 1679.3 4.7 350.3

Finalmente al haber obtenido las matrices lineales con las que se logró calcular las matrices del controlador y del observador, se procedió a implementar el esquema de control mostrado en la figura 2, el cual representa un esquema de control completo en espacio de estado discreto, tomando una condición inicial de control ( U() ), y una condición inicial de las variables de estado ( X() ). Estas condiciones están en función del punto de operación. [pic 19]

[pic 20]

Figura 2. Control en espacio de estados discreto

Así, teniendo el esquema de la figura 2, las ecuaciones diferenciales que representan el diagrama de bloques del sistema controlado, y que facilitan su implementación en LabView, son:

~x1(k) G11 ~x1(k 1) G12 ~x2(k 1) G13 ~x3(k 1) G14 ~x4(k 1) H1 K1 Ke1 e0(k 1)

~x2(k) G21 ~x1(k 1) G22 ~x2(k 1) G23 ~x3(k 1) G24 ~x4(k 1) H2 K2 Ke2 e0(k 1)

~x3(k) G31 ~x1(k 1) G32 ~x2(k 1) G33 ~x3(k 1) G34 ~x4(k 1) H3 K3 Ke3 e0(k 1)

~x4(k) G41 ~x1(k 1) G42 ~x2(k 1) G43 ~x3(k 1) G44 ~x4(k 1) H4 K4 Ke4 e0(k 1)

~y(k 1) C1 ~x1(k 1) C2 ~x2(k 1) C3 ~x3(k 1) C4 ~x4(k 1)

e0(k 1) y(k 1) ~y(k 1)

u(k) K1 ~x1(k) K2 ~x2(k) K3 ~x3(k) K4 ~x4(k) U()

Donde U() 0.233044 0.353656. Finalmente con estas ecuaciones se realizó el programa en LabView mostrado en la figura 3.

[pic 21]

Figura 3. Programa en LabView

Una vez introducidas las ecuaciones y los valores de las matrices, se realizó la ejecución del programa junto con la planta física, de lo cual se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 4, en la que se muestran las señales de control, referencia, salida y error,