ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

...

También se puede deducir que: [pic 62] (2)

[pic 63], entonces: [pic 64]

Así, [pic 65]

Si se supone que se jala la cuerda y se suelta desde el reposo (velocidad inicial igual a cero):

[pic 66] entonces: [pic 67][pic 68][pic 69] y [pic 70]; pero [pic 71]no es

posible de acuerdo a la suposición de [pic 72]. Por lo tanto, [pic 73].

Sustituyendo la solución supuesta: [pic 74]en la ecuación diferencial [pic 75], se obtiene: [pic 76]

[pic 77];para descomponer en dos ecuaciones diferenciales ordinarias se iguala a algún parámetro que luego se debe hallar, por ejemplo: [pic 78]

[pic 79]; ahora se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas de coeficientes constantes: Ecuaciones auxiliares:

Ecuación 1: [pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84] [pic 85] [pic 86] [pic 87] [pic 88]

Ecuación 2: [pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

Resolviendo la ecuación 1: la solución tiene la forma: [pic 98]

Casos de la ecuación auxiliar:

- Si [pic 99]entonces las soluciones de la ecuación auxiliar [pic 100]son reales y diferentes y se obtiene:

Entonces: [pic 101][pic 102][pic 103]

Para hallar [pic 104]se sustituyen las condiciones deducidas anteriormente en (1): [pic 105]y[pic 106]:

- [pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

- [pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

Reemplazando [pic 119] en [pic 120] se obtiene: [pic 121], lo cual contradice la suposición de la solución [pic 122] tal que [pic 123]y [pic 124], por lo tanto no se considera éste caso.

- Si [pic 125]entonces las soluciones de la ecuación auxiliar [pic 126]son reales y repetidas y se obtiene:

Entonces: [pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131]

Para hallar [pic 132]se sustituyen las condiciones deducidas anteriormente en (1): [pic 133]y[pic 134]:

- [pic 135][pic 136][pic 137]

- [pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

Reemplazando [pic 143] en [pic 144], se obtiene: [pic 145], lo cual contradice la suposición de la solución [pic 146] tal que [pic 147]y [pic 148], por lo tanto no se considera éste caso.

- Si [pic 149], las soluciones de la ecuación auxiliar [pic 150]son complejas conjugadas y se obtiene:

Si reemplazamos [pic 151] tal que a[pic 152]

Entonces: [pic 153][pic 154][pic 155]

Para hallar [pic 156]se sustituyen las condiciones deducidas anteriormente en (1): [pic 157]y[pic 158]:

- [pic 159][pic 160][pic 161][pic 162][pic 163]

- [pic 164][pic 165][pic 166][pic 167][pic 168]

De la última expresión se hace la suposición de que [pic 169]para que la solución [pic 170]sea diferente de cero y exista; y queda pendiente la búsqueda de [pic 171]; pero se halla la constante “a”:

[pic 172][pic 173][pic 174][pic 175]“[pic 176]” es múltiplo de “[pic 177]”[pic 178][pic 179][pic 180][pic 181], pero se observa que se ha obtenido un “[pic 182]” n-ésimo puesto que depende de [pic 183]: [pic 184]; además [pic 185] [pic 186] [pic 187] [pic 188] [pic 189][pic 190]

Reemplazando [pic 191]y[pic 192] en[pic 193] se obtiene: [pic 194]; puesto que éste último resultado depende [pic 195], se ha obtenido un [pic 196]n-ésimo:

[pic 197] [pic 198] sustituyendo: [pic 199] se obtiene:

[pic 200][pic 201]

Resolviendo la ecuación 2: la solución tiene la forma: [pic 202]

Ecuación auxiliar: [pic 203], sustituyendo [pic 204] obtenido en el análisis anterior:

[pic 205] [pic 206] [pic 207]

Entonces: [pic 208] [pic 209] [pic 210]

Para hallar [pic 211]se sustituye la condición deducida anteriormente en (2): [pic 212]:

[pic 213]

[pic 214] [pic 215] [pic 216][pic 217][pic 218]

Por lo tanto, [pic 219] pero se obtuvo un [pic 220]n-ésimo, es decir: [pic 221]

sustituyendo: [pic 222] se obtiene: [pic 223][pic 224]

Sustituyendo [pic 225]y [pic 226]en la solución supuesta: [pic 227] se obtiene:

[pic 228]

Sustituyendo el producto de las constantes [pic 229] por la constante [pic 230], y considerando el teorema de superposición de soluciones se obtiene:

La solución de la ecuación de la onda: [pic 231] ; tal que falta determinar [pic 232][pic 233]

Sustituyendo [pic 234] [pic 235]

Dado que [pic 236]: [pic 237]

Así, el coeficiente ”[pic 238]” que falta determinar es el coeficiente de Fourier de la función[pic 239]al desarrollar su extensión de medio rango impar. La extensión de medio rango impar de f(x) está dada por:

[pic 240] tal que [pic 241]

[pic 242]

Tal que:[pic 243]; sustituyendo [pic 244] y [pic 245]: [pic 246]

Dado que [pic 247]y [pic 248]son funciones impares (su producto es una función par), entonces:[pic 249][pic 250]

[pic 251] , dado que : [pic 252]: [pic 253]

ECUACION UNIDIMENSIONAL