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Ecuaciones trigonométricas

Enviado por   •  13 de Diciembre de 2018  •  940 Palabras (4 Páginas)  •  308 Visitas

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...

Ley de los senos

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)

Para la demostración consideramos dos casos:

Primer caso: El triángulo es acutángulo

En el ACD: = sen A[pic 72][pic 73]

(1)[pic 74]

En el BCD: = sen B[pic 75][pic 76]

(2)[pic 77]

Comparando (1) y (2), tenemos

b sen A= a sen B (3)[pic 78]

En el ACE: = sen C = b sen C (4)[pic 79][pic 80][pic 81]

En el ABE: = sen B = c sen B (5)[pic 82][pic 83][pic 84]

Comparando (4) y (5), tenemos:

b sen C= c sen B (6)[pic 85][pic 86]

Comparando (3) y (6), temenos:

[pic 87][pic 88]

Imagen 19

C [pic 89][pic 90][pic 91]

[pic 92]

b E[pic 93]

a

A B

D c

Fuente: Baldor: Geometría y trigonometría

Segundo caso: El triángulo es obtusángulo

En el CDB: = sen B = a sen B (1)[pic 94][pic 95][pic 96]

En el CDA:= sen (180- A) = sen A = b sen A (2)[pic 97][pic 98][pic 99]

Comparando (1) y (2)

a sen B= b sen A

(3)[pic 100][pic 101]

En el AEC:[pic 102]

= sen C [pic 103]

= b sen C (4)[pic 104]

En el AEB:[pic 105]

= sen B = c sen B (5)[pic 106][pic 107]

Comparando (4) y (5), tenemos:

b sen C= c sen B

(6)[pic 108][pic 109]

Comparando (3) y (6), tenemos:

[pic 110][pic 111]

Imagen 20

C[pic 112][pic 113][pic 114]

E[pic 115]

b a

[pic 116][pic 117]

D A c B

Fuente: Baldor Geometria y Trigonometria

Ley de coseno

El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que forman. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)

Se consideran dos casos:

Primer caso: El triángulo es acutángulo

Por el teorema generalizado de Pitágoras, tenemos:

(1)[pic 118]

Pero: = cos A AD= c cos A (2)[pic 119][pic 120]

[pic 121]

Análogamente, se demuestra

[pic 122]

[pic 123]

Segundo caso: El triángulo es obtusángulo

Por el teorema generalizando de Pitágoras, tenemos:

(1)[pic 124]

Pero = cos (180-A)= - cos A AD= -c cos A [pic 125][pic 126]

Sustituyendo (2) en (1), tenemos:

(- c cos A)[pic 127]

c cos A[pic 128]

Imagen 21

B[pic 129][pic 130][pic 131]

a

c[pic 132][pic 133]

[pic 134]

D A b C

Fuente : Baldor Geometría y Trigonometría

Ley de las tangentes

En todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus lados es a su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de dichos ángulos. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)

Demostración

ley de los senos[pic 135]

transponiendo[pic 136]

(1) propiedad de las proporciones[pic 137]

(2) propiedad de las proporciones [pic 138]

Dividiendo (1) por (2), tenemos

[pic 139]

[pic 140]

Transformando en producto:

[pic 141]

Ordenando y simplificando:

[pic 142]

Separando:

[pic 143]

Pero:

[pic 144]

Y

[pic 145]

Sustituyendo (4) y (5) en (3), temenos:

[pic 146]

Y como:

...

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