Ecuaciones trigonométricas
Enviado por Mikki • 13 de Diciembre de 2018 • 940 Palabras (4 Páginas) • 307 Visitas
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Ley de los senos
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)
Para la demostración consideramos dos casos:
Primer caso: El triángulo es acutángulo
En el ACD: = sen A[pic 72][pic 73]
(1)[pic 74]
En el BCD: = sen B[pic 75][pic 76]
(2)[pic 77]
Comparando (1) y (2), tenemos
b sen A= a sen B (3)[pic 78]
En el ACE: = sen C = b sen C (4)[pic 79][pic 80][pic 81]
En el ABE: = sen B = c sen B (5)[pic 82][pic 83][pic 84]
Comparando (4) y (5), tenemos:
b sen C= c sen B (6)[pic 85][pic 86]
Comparando (3) y (6), temenos:
[pic 87][pic 88]
Imagen 19
C [pic 89][pic 90][pic 91]
[pic 92]
b E[pic 93]
a
A B
D c
Fuente: Baldor: Geometría y trigonometría
Segundo caso: El triángulo es obtusángulo
En el CDB: = sen B = a sen B (1)[pic 94][pic 95][pic 96]
En el CDA:= sen (180- A) = sen A = b sen A (2)[pic 97][pic 98][pic 99]
Comparando (1) y (2)
a sen B= b sen A
(3)[pic 100][pic 101]
En el AEC:[pic 102]
= sen C [pic 103]
= b sen C (4)[pic 104]
En el AEB:[pic 105]
= sen B = c sen B (5)[pic 106][pic 107]
Comparando (4) y (5), tenemos:
b sen C= c sen B
(6)[pic 108][pic 109]
Comparando (3) y (6), tenemos:
[pic 110][pic 111]
Imagen 20
C[pic 112][pic 113][pic 114]
E[pic 115]
b a
[pic 116][pic 117]
D A c B
Fuente: Baldor Geometria y Trigonometria
Ley de coseno
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que forman. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)
Se consideran dos casos:
Primer caso: El triángulo es acutángulo
Por el teorema generalizado de Pitágoras, tenemos:
(1)[pic 118]
Pero: = cos A AD= c cos A (2)[pic 119][pic 120]
[pic 121]
Análogamente, se demuestra
[pic 122]
[pic 123]
Segundo caso: El triángulo es obtusángulo
Por el teorema generalizando de Pitágoras, tenemos:
(1)[pic 124]
Pero = cos (180-A)= - cos A AD= -c cos A [pic 125][pic 126]
Sustituyendo (2) en (1), tenemos:
(- c cos A)[pic 127]
c cos A[pic 128]
Imagen 21
B[pic 129][pic 130][pic 131]
a
c[pic 132][pic 133]
[pic 134]
D A b C
Fuente : Baldor Geometría y Trigonometría
Ley de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus lados es a su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de dichos ángulos. (Libro Baldor Geometria y trigonometría)
Demostración
ley de los senos[pic 135]
transponiendo[pic 136]
(1) propiedad de las proporciones[pic 137]
(2) propiedad de las proporciones [pic 138]
Dividiendo (1) por (2), tenemos
[pic 139]
[pic 140]
Transformando en producto:
[pic 141]
Ordenando y simplificando:
[pic 142]
Separando:
[pic 143]
Pero:
[pic 144]
Y
[pic 145]
Sustituyendo (4) y (5) en (3), temenos:
[pic 146]
Y como:
...