Gestion de proceso.

...

- Dado un suceso cualquiera A se cumple:[pic 13]

- [pic 14]

- [pic 15]: la probabilidad del espacio muestral (suceso seguro) es 1

- Si A y B son dos sucesos cualesquiera (no incompatibles) se cumple que:

[pic 16]

- Si A y B son sucesos incompatibles se cumple que:

[pic 17]

-A partir de aquí, como los sucesos A y “no A” son incompatibles, y como el suceso “A o no A” es el espacio muestral,

[pic 18]

se obtiene que:

[pic 19]

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Probabilidad condicionada

● La probabilidad de que ocurra un suceso A si sabemos que ha ocurrido un suceso B es:

[pic 20]

Ejemplo:

Se lanza dos veces una moneda: E={CC,CX,XC,XX}. Sabemos que ha ocurrido el suceso “sale al menos una cara”, es decir, B={CC,CX,XC}

La probabilidad de que ocurra el suceso A “en el primer lanzamiento sale cara”={CC,CX} condicionada por el suceso B será:

[pic 21]

ya que “A y B”={CC,CX}.

La probabilidad de A que es 1/2 se transforma en 2/3 al incorporar la información de que sale al menos una cara.

Ejercicio 14.1 (de Peña y Romo)

Se lanza dos veces un dado. Se sabe que en el primer lanzamiento ha salido un tres.

- Hallar la probabilidad de que la suma de los dos resultados sea 8, empleando la definición de probabilidad condicionada.

Al lanzar dos veces un dado el espacio muestral tendrá 36 elementos y será:

E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Llamamos A=”el primer y el segundo resultado suman 8” y B=”el primer resultado es un tres”, luego nos piden:

[pic 22]

Tendremos entonces:

A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} con [pic 23]

B={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} con [pic 24]

A y B={(3,5)} con [pic 25]

Por tanto:

[pic 26]

- Considerar el suceso B=”en el primer lanzamiento ha salido un tres” como el nuevo espacio muestral y calcular la probabilidad de que “ambos resultados sumen ocho”.

Nuevo espacio muestral {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}

A=“ambos resultados suman ocho”={(3,5)} luego [pic 27]

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● A partir de la fórmula de la probabilidad condicionada se obtiene una expresión para obtener la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B:

[pic 28]

Ejemplo:

Suceso A: perder las maletas

Suceso B: viajar con Iberia

¿Cuál es la [pic 29] si sabemos que el 30% de los viajeros vuelan con Iberia ([pic 30]) y que Iberia pierde la maleta del 0,1% de sus pasajeros ([pic 31])?

[pic 32]

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Ejercicio 14.6 (de Peña y Romo)

Las 40 cartas de una baraja se agrupan en 4 palos (oros (O), copas (C), espadas (E) y bastos (B)) y están numeradas del 1 al 10. Se elige primero una carta y luego otra sin haber devuelto la primera al mazo.

- Utilizar la regla de la multiplicación para hallar la probabilidad de que ambas sean oros.

[pic 33]

- Calcular la probabilidad de que salgan dos ases.

[pic 34]

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Ejercicio 14.3 (de Peña y Romo)

La regla de la multiplicación también se verifica para más de 2 sucesos. En el caso de tres sucesos A, B y C, se cumple que:

[pic 35]

En el ejemplo de Iberia, supongamos que la compañía recupera en menos de una semana el 80% del equipaje perdido. Hallar la probabilidad de que se pierda el equipaje de una persona que viaja con Iberia y que se recupere en menos de una semana.

Recordemos que:

Suceso A: perder las maletas

Suceso B: viajar con Iberia ([pic 36]) y que [pic 37]

Llamamos:

Suceso C: recuperar el equipaje en menos de una semana y sabemos que [pic 38]. Nos piden:

[pic 39]

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Probabilidad total

● En ocasiones el espacio muestral E se puede dividir en varios sucesos B1, B2, …, Br que son incompatibles entre sí, de modo que siempre