Maximos y minimos. Ecuaciones Diferenciales

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Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Propiedades

Linealidad

[pic 26]

Derivación

[pic 27].

[pic 28]

[pic 29] [pic 30]

Integración

[pic 31]

Dualidad

[pic 32]

Desplazamiento de la frecuencia

[pic 33]

Desplazamiento temporal

[pic 34]

[pic 35]

Nota: [pic 36] es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

[pic 37]

Convolución

[pic 38]

Transformada de Laplace de una función con periodo p

[pic 39]

Condiciones de convergencia

[pic 40] (que crece más rápido que [pic 41]) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que [pic 42], es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función [pic 43] derivable a trozos y que [pic 44] Entonces :

[pic 45]

[pic 46] es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final[editar]

Sea[pic 47] una función derivable a trozos tal que [pic 48].Entonces :

[pic 49]

[pic 50] es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

[pic 51]

[pic 52]

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella [pic 53] denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID

Función

Dominio en el tiempo[pic 54]

Dominio en la frecuencia[pic 55]

Región de la convergencia

para sistemas causales

1

retraso ideal

[pic 56]

[pic 57]

1a

impulso unitario

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

2

enésima potencia retrasada y con

desplazamiento en la frecuencia

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

2a

n-ésima potencia

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

2a.1

q-ésima potencia

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

2a.2

escalón unitario

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

2b

escalón unitario con retraso

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

2c

Rampa

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

2d

potencia n-ésima con cambio de frecuencia

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

2d.1

amortiguación exponencial

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

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