Teoría de el error

...

[pic 27]

[pic 28] Donde [pic 29] [pic 30]

Haciendo esto para [pic 31]tenemos:

[pic 32]

Y así [pic 33]

Sustituyendo obtenemos

[pic 34]

Denotemos esta serie por [pic 35] así:

[pic 36]

¿La pregunta natural es [pic 37]?

Para analizar este caso veamos otro ejemplo

EJEMPLO 2

- Sea [pic 38], se puede verificar que

[pic 39] Y así [pic 40]

Sustituyendo en [pic 41] obtenemos que:

[pic 42]

¿La pregunta es?

[pic 43]

Para esto consideramos algunos valores particulares

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Por lo anterior, para el valor [pic 56] [pic 57] argumentos geométricos muestran que [pic 58][pic 59] y [pic 60][pic 61] ahora si vemos [pic 62] es claro que [pic 63][pic 64] sin embargo a esta suma se le puede dar algún sentido ya

que [pic 65] tiene como sumas parciales [pic 66] y [pic 67], y [pic 68] es el promedio

de estas dos y por ultimo para [pic 69]

[pic 70]

Es claro que [pic 71] y [pic 72] [pic 73] NO están definidas, pero se comportan de manera similar [pic 74] sin embargo para [pic 75] no tiene nada que ver [pic 76] y [pic 77][pic 78]

La explicación sencilla radica en el signo [pic 79] [pic 80]

De lo anterior podemos concluir que [pic 81], se cumple para ciertos valores de x, ahora la cuestión es ¿para cuáles?

Analicemos que paso con la función [pic 82] , esta función tiene problemas de domino en [pic 83], sin embargo recordemos que estamos centrados en [pic 84]así:

[pic 85][pic 86]

[pic 87]

0 1[pic 88][pic 89]

Estamos aquí Problema

Al ir hasta el problema, tomaremos un intervalo con centro en cero y cuyo extremo sea el problema 1. Así tenemos el intervalo [pic 90]

Como vimos antes, en este intervalo [pic 91] en los extremos no se sabe y por fuera son diferentes, para hacer esto formal, debemos ver la convergencia de la serie, esto se ve con el CRITERIO DEL COCIENTE así:

[pic 92]

Así:

Y por tanto [pic 93] , es decir [pic 94] para los valores de [pic 95] en los cuales se tiene la convergencia absoluta y uniforme de [pic 96]

Volviendo a la función [pic 97] , al aplicar CRITERIO DEL COCIENTE:

[pic 98]

Tenemos que para cualquier [pic 99] la serie converge así:

[pic 100]

TEOREMA DE TAYLOR

Como buscamos desarrollar numéricamente, las Series de Taylor no son de ayuda, ya que no podemos realizar “sumas” infinitas, para esto tenemos que aproximarlas, es decir tenemos que troncar las Series de Taylor y así para [pic 101] [pic 102] , tenemos

[pic 103]

Sin embargo, si [pic 104]no es un polinomio, es posible que[pic 105] de todas maneras es una aproximación puntual de este así:

[pic 106]

Donde [pic 107] es un error que se comete. (El cual obviamente nunca vamos a conocer)

Y es dado por: [pic 108] con [pic 109] entre [pic 110] y [pic 111]

Ese valor [pic 112] no lo conozco y así [pic 113] tampoco, pero podemos acotarlo, es decir encontrar alguna función tal que

[pic 114]

Y así: [pic 115]

Con lo cual podemos fijar un máximo error y así determinar el [pic 116]donde se debe troncar la serie para obtener una buena aproximación.

Ejemplo

Dada la serie de Taylor de [pic 117] con centro en cero, hallar la aproximación de [pic 118]

Con cinco cifras significativas.

Solución:

Lo primero que hallamos es el criterio de error, el cual asegura que el resultado sea correcto con al menos cinco cifras significativas; donde n=5:

[pic 119]

Es decir se evaluara la serie de Taylor hasta que el error normalizado se menor que 0,0005%.

Realizando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos:

[pic 120]

Donde la primera aproximación es [pic 121]

Segunda aproximación es [pic 122]

Tercera aproximación es [pic 123]

En la siguiente tabla se colocaran los resultados; buscando que el error normalizado porcentual sea menor que la tolerancia; también colocaremos el error relativo