APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

...

[pic 21]

Ahora aplicamos la segunda condición inicial:

[pic 22]

Luego:

[pic 23]

Para responder cuanto tiempo debe transcurrir para que el capital se reduzca a la mitad de su valor original usamos:

[pic 24]

2.- Utilidad Neta.

La relación entre la utilidad neta P(x) y el gasto en publicidad x es tal que la razón de cambio de la utilidad neta con respecto al gasto en publicidad, es proporcional a la diferencia de una constante “a” (que representa la utilidad máxima que se puede obtener) y la ganancia neta, multiplicada por una constante k que es la tasa de incremento de la utilidad neta con respecto al crecimiento del gasto en publicidad. Para obtener la relación entre la utilidad neta y el gasto en promoción si [pic 25] se procede de la siguiente manera:

La ecuación que representa el caso anterior es:

[pic 26]

Al separar variables se obtiene:

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

3.- Costo de manufactura.

La relación entre el costo de manufactura por el articulo M y el número de tipos de artículos fabricados N, es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a medida que aumenta el número de tipos, es igual a la razón entre la suma del costo por articulo más el número de tipos y el número de tipos que se manufacturan. Para obtener la relación entre el costo de fabricación por articulo y el número de tipos de productos fabricados si [pic 30] cuando [pic 31], se procede de la siguiente manera:

La ecuación que representa el caso anterior es:

[pic 32]

Cuya solución es:

[pic 33]

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EJERCICIOS

1.- La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por D = 120 + p(t) - 5p’(t), S = 60 - 2p(t) - 3p’(t). En t = 0 el precio del bien es 5 unidades. Encontrar el precio en cualquier tiempo y determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

Respuesta: [pic 34], no hay estabilidad del precio, no hay precio de equilibrio.

2.- La demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por D = 40 + 3p(t) + p’(t), S = 160 - 5p(t) - 3p’(t). En t = 0 el precio del bien es 20 unidades. Encontrar el precio en cualquier tiempo y determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

Respuesta: [pic 35], hay estabilidad del precio, precio de equilibrio 15.

3.- Trabaje el ejercicio anterior con D = 40 + p’(t), S =1 60 - 3p’(t).

Respuesta: : [pic 36], no hay estabilidad del precio, no hay precio de equilibrio.

4.- Para proteger sus ganancias, un productor decide que la tasa a la cual incrementara los precios debería ser numéricamente igual a tres veces la tasa a la cual decrece su inventario. Asumiendo que la oferta y la demanda están dadas en términos del precio p por S = 80 + 3p, D = 150 – 2p y que p = 20 en t = 0, encuentre el precio en cualquier tiempo.

Respuesta: [pic 37]

5.- Determine el inventario del productor en el ejercicio 4 si tiene 2800 unidades del bien en t = 0.