TODO ACERCA DE QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Enviado por Jerry • 17 de Mayo de 2018 • 1.038 Palabras (5 Páginas) • 316 Visitas
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De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente
[pic 31]
Cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.
Definición [Ecuación Diferencial lineal]
Una ecuación diferencial ordinaria de orden [pic 32] es lineal si se puede escribir de la forma
[pic 33]
(1.5)
Donde los coeficientes [pic 34] para [pic 35] son funciones reales, con[pic 36]. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.
Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones [pic 37] son constantes para toda[pic 38], en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función [pic 39] es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.
Ejemplo
La ecuación diferencial
[pic 40]
es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable [pic 41] representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo[pic 42]. Las constantes [pic 43] y [pic 44]dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se esté aprendiendo.
Ejemplo
La ecuación
[pic 45]
Es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogéneos. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor[pic 46], un resistor [pic 47] y un capacitor[pic 48], al cual se aplica una fuerza electromotriz[pic 49].
Ejemplo
La ecuación
[pic 50]
Es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogéneos.
La ecuación
[pic 51]
es de primer orden, no lineal y no homogénea.
La ecuación
[pic 52]
es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.
El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
La ecuación
[pic 53]
se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en [pic 54] y de segundo orden en [pic 55].
La ecuación
[pic 56]
se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en [pic 57] e [pic 58].
La ecuación
[pic 59]
se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en [pic 60], [pic 61] y [pic 62].
Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas.
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