Análisis Numérico De Ecuaciones Diferenciales
Enviado por mondoro • 21 de Junio de 2018 • 1.578 Palabras (7 Páginas) • 356 Visitas
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- [pic 20]
- [pic 21] donde p es un parámetro.
Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma [pic 22], siendo c una raíz de la ecuación [pic 23].
Ecuación de Clairaut
Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:
[pic 24]
Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con [pic 25], por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Ecuación lineal con coeficientes constantes:
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
[pic 26]
La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:
[pic 27]
En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:
Caso 1: dos raíces reales y distintas [pic 28], en este caso la solución general tiene la forma:
[pic 29]
Caso 2: dos raíces reales e iguales[pic 30], en este caso la solución general tiene la forma:
[pic 31]
Caso 3: dos raíces complejas conjugadas[pic 32], en este caso la solución general tiene la forma:[pic 33]
El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel.
Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy
Esta ecuación tiene la forma:
[pic 34]
Y puede resolverse mediante el cambio de variable [pic 35] que transforma la ecuación anterior en una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:
[pic 36]
Ecuaciones de Bessel
La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:
[pic 37]
Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:
[pic 38]
Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:
[pic 39]
Cuya solución viene dada por:
[pic 40]
Ecuación de Legendre
La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:
[pic 41]
Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:
[pic 42]
Las solución general puede expresarse en la forma:
[pic 43], o bien, [pic 44]
Dónde:
[pic 45]
[pic 46], y [pic 47]
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:
[pic 48]
Donde los términos [pic 49] representan constantes [pic 50] En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:
[pic 51]
En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:
[pic 52]
En el caso de que existan varias raíces múltiples, existiendo sólo k raíces diferentes y siendo [pic 53] la multiplicidad de la raíz i-ésima, la solución general es de la forma:
[pic 54]
Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:
[pic 55]
Método de Runge-Kutta:
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea
[pic 56]
Una ecuación diferencial ordinaria, con [pic 57] donde [pic 58] es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
[pic 59]
Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
[pic 60],
Donde
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