Ecuaciones diferenciales.

...

∫dy/y = ∫dx/(x + 30)

En una ecuación diferencial de variables separadas:

Lny = Ln(x + 30) + C₁ Lny = Ln(x + 30) + LnC₂ .......... LnC₂

igual que C₁ una constante cualquiera. Lny = Ln[C₂(x + 30)] y = C₂(x + 30) Condiciones iniciales x=1 entonces y=30. Evaluando: 30 = C₂(1 + 30) ⇒ C₂ = 30/31

y = 30(x + 30) / 31 es la función del costo

2.2) Una empresa de productos ha determinado que la tasa de cambio en sus ingresos "Y", en relación a sus gastos de propaganda "X" está dado por la relación

(χ² + 1)dy/dx +2xy = χ²

Determinar función ingreso si cuando no hay gastos de propaganda sus ingresos ascienden a 750 dólares

y: tasa de cambio en los ingresos. x: gasto de propaganda.

(x³ + 1)dy/dx + 2xy = x³ (x³ + 1)dy/dx = x³ - 2xy (x³ + 1)dy = (x³ - 2xy)dx (x³ + 1)dy - (x³ - 2xy)dx = 0 (2xy - x³)dx + (x³ + 1)dy = 0

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 M(x,y) = 2xy - x³ ⇒ ∂M/∂y = 2x N(x,y) = x³ + 1 ⇒ ∂N/∂x = 2x Como ∂M/∂x = ∂N/∂y entonces es una ecuación diferencial exacta.

f(x,y) = ∫(2xy - x³)dx = x³y - (x^3)/3 + G(y) ∂f(x,y)/∂y = x³ + G`(y)

Conocemos que ∂f(x,y)/∂y = N(x,y) x³ + G`(y) = x³ + 1 G`(y) = 1 G(y) = ∫dy = y + C

Finalmente: f(x,y) = x³y - (x^3)/3 + y + C x³y - (x^3)/3 + y + C = 0 Condiciones iniciales x=0 entonces y=750. Evaluando: 0 - 0 + 750 + C = 0 ⇒ C = -750 x³y - (x^3)/3 + y - 750 = 0