MATRICES Y DETERMINANTES. PROFESOR ENCARGADO : GEORG STÜCKRATH M.

...

es decir es de orden 3 x 4 .

Aquí , podemos identificar algunos elementos : a13 = -4 , a32 = -7 , etc.

Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se dice que es una matriz cuadrada de orden según el número de filas y columnas que tenga.

IGUALDAD DE MATRICES .

Dos matrices pertenecientes a Iknxm ( del mismo orden ) son iguales si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones , es decir :

Ejercicios :

Encuentra el valor de las variables en cada caso.

[pic 5]

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

Sea A = se llama matriz traspuesta a la que se obtiene intercambiando las filas por las columnas, es decir a : AT =

Ejemplo : Dado A = entonces AT =

Ejeercicios :

Encuentra la matriz transpuesta de :

[pic 6]

[pic 7]

HORA DE HACER EL TALLER Nº 3

ADICION DE MATRICES .

Dadas las matrices A, B , C ∈ IKnxm , entonces :

A + B = C ⇔ cij = aij + bij , ∀ aij ∈ A , ∀ bij ∈ B

Ejemplo : En IK2x2

A+ B =

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES.

Dadas las matrices A, B , C y 0 ∈ IKnxm , entonces :

1) COMPOSICION INTERNA : A + B ∈ IKnxm

2) ASOCIATIVA : A + (B + C) = (A + B) + C

3) CONMUTATIVA : A + B = B + A

4) ELEMENTO NEUTRO ADITIVO :

∀ A ∈ IKnxm , ∃ ! 0 ∈ IKnxm : A + 0 = A = 0 + A

5) ELEMENTO INVERSO :

∀ A ∈ IKnxm , ∃ ! (-A) ∈ IKnxm : A + ( - A) = 0 = (-A) + A

E J E R C I C I O S.

Dada la matriz : A = encuentra :

5. 3a12 + 5a32 - a33 = 6,. -2a21 + 6a11 + 7a22 = 7. 5a32 + 3a31 =

- En un Preuniversitario hay 5 clases ; en la primera hay 30 chicas y 5 chicos ; en la 2ª , 25 chicas y 12 chicos ; en la 3ª , 20 chicas y 20 chicos ; en la 4ª , 13 chicas y 25 chicos ; y , en la 5ª , 19 chicas y 11 chicos . Haz una matriz en la que pongas un 1 si el número de chicas excede al de chicos ; un 0 si es al revés ; y un 2 si son iguales. Así te podrás hacer una idea de la proporción de chicos y chicas estudiando en ese Preuniversitario.

Determina las matrices aij ∈ IK3x4 , tales que :

9. aij = 0 , si i = j 10. aij = 1 , si i 11. aij = -1 , si i > j

Realiza las siguientes adiciones :

12. =

Encuentra el valor de las variables :

13.

Resuelve las ecuaciones matriciales :

14. x + 15.

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :

Sea p ∈ IK , aij ∈ IKnxm , entonces p ⋅ aij = bij , ∀ aij ∈ A , ∀ bij ∈ B

Ejemplo :

Ejemplo : 5⋅

PROPIEDADES DE LA PONDERACION. p , q ∈ IK , A ∈ IKnxm

- p⋅(A + B) = p⋅A + p⋅B

- (p + q)⋅A = p⋅A + q⋅ A

- (p⋅q)⋅A = p⋅(q⋅A)

- 1 ⋅ A = A , 1 = neutro multiplicativo en IK.

E J E R C I C I O S

Dadas las matrices : A = ,B = , calcula en cada caso :

16. 2⋅(A + B) = 17. 3⋅A + 2⋅B = 18. (2⋅A - B)T =

Determina el valor de las variables , en las expresiones :

19. x⋅

[pic 8]

HORA DE HACER EL TALLER Nº 4

MULTIPLICACION DE MATRICES .

La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices

se define así :

A ⋅ B =

Ejemplo :

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION .

- Propiedad General : La multiplicación entre matrices sólo existe entre aquellas matrices cuadradas del mismo orden y entre aquellas que tienen el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, una matriz perteneciente a IKnxm se puede multiplicar sólo con una matriz perteneciente Ikmxp , resultando una matriz de orden nxp .

- La multiplicación de matrices es una ley de composición interna para aquellas

matrices que cumplen la propiedad general.

- La multiplicación de matrices es asociativa.

- En Iknxn existe la matriz identidad I :

∀ A ∈ IKnxn , ∃ ! I ∈ Iknxn : A⋅I = A = I⋅A

- La multiplicación de matrices en Iknxn es distributiva sobre la adición :

A⋅(B + C) = A⋅B + A⋅C

EJERCICIOS .

En IK2x2 determina el elemento identidad :

Dadas las matrices : A = , B = , C =